Choisir entre test et test

Contexte: je fais une présentation à des collègues de travail sur le test d'hypothèse, et je comprends la plupart du temps, mais il y a un aspect que je me noue en essayant de comprendre et d'expliquer aux autres.

C'est ce que je pense savoir (veuillez corriger en cas d'erreur!)

• Statistiques qui seraient normales si la variance était connue, suivez une distribution si la variance est inconnue$t$
• CLT (Central Limit Theorem): La distribution d'échantillonnage de la moyenne de l'échantillon est approximativement normale pour suffisamment grand (pourrait être , pourrait aller jusqu'à pour des distributions fortement asymétriques)$n$$30$$300$
• La distribution peut être considérée comme normale pour des degrés de liberté$t$$> 30$

Vous utilisez le test si:$z$

1. Normale et variance de la population connues (pour toute taille d'échantillon)
2. Population normale, variance inconnue et (due au CLT)$n>30$
3. Binôme de population, ,$np>10$$nq>10$

Vous utilisez le test si:$t$

1. Population normale, variance inconnue et$n<30$
2. Aucune connaissance de la population ou de la variance et , mais les données de l'échantillon semblent normales / réussissent les tests, etc., donc la population peut être supposée normale$n<30$

Je me retrouve donc avec:

• Pour les échantillons et (?), Aucune connaissance de la population et de la variance connue / inconnue.$>30$$<\approx 300$

Mes questions sont donc:

1. À quelle taille d'échantillon pouvez-vous supposer (en l'absence de connaissances sur la distribution ou la variance de la population) que la distribution d'échantillonnage de la moyenne est normale (c.-à-d. Que le CLT a démarré) lorsque la distribution d'échantillonnage semble anormale? Je sais que certaines distributions nécessitent , mais certaines ressources semblent dire utiliser le -test chaque fois que ...$n>300$$z$$n>30$

2. Pour les cas dont je ne suis pas sûr, je suppose que je regarde les données pour la normalité. Maintenant, si les données de l'échantillon semblent normales, est-ce que j'utilise le test (puisque supposons que la population est normale et que )?$z$$n>30$

3. Qu'en est-il lorsque les exemples de données pour les cas dont je ne suis pas sûr ne semblent pas normaux? Y a-t-il des circonstances où vous utiliseriez toujours un test ou ou tentez-vous toujours de transformer / utiliser des tests non paramétriques? Je sais qu'en raison du CLT, à une valeur de la distribution d'échantillonnage de la moyenne se rapprochera de la normale, mais les données de l'échantillon ne me diront pas quelle est cette valeur de ; les données de l'échantillon pourraient être non normales tandis que la moyenne de l'échantillon suit une normale / . Y a-t-il des cas où vous transformeriez / utiliseriez un test non paramétrique alors qu'en fait la distribution d'échantillonnage de la moyenne était normale / mais vous ne pouviez pas le dire? $t$$z$$n$$n$$t$$t$

@AdamO a raison, vous utilisez simplement toujours le test si vous ne connaissez pas l'écart type de la population a priori. Vous n'avez pas à vous soucier du moment où passer au test z , car la distribution t «bascule» pour vous. Plus précisément, le t -Distribution converge à la normale, il est donc la distribution correcte à utiliser à chaque N . $t$$z$$t$$t$$N$

Il y a également une confusion ici quant à la signification de la ligne traditionnelle à $N=30$ . Il existe deux types de convergence dont les gens parlent:

1. La première est que la distribution d'échantillonnage de la statistique de test (c.-à-d. $t$ ) calculée à partir des données brutes normalement distribuées (au sein du groupe) converge vers une distribution normale sous la forme $N\rightarrow\infty$ malgré le fait que l'écart-type est estimé à partir des données. (La distribution $t$ s'occupe de cela pour vous, comme indiqué ci-dessus.)
2. La seconde est que la distribution d'échantillonnage de la moyenne des données brutes non distribuées normalement (au sein du groupe) converge vers une distribution normale (plus lentement que ci-dessus) lorsque $N\rightarrow\infty$ . Les gens comptent sur le théorème de la limite centrale pour s'en occuper à leur place. Cependant, rien ne garantit qu'il convergera dans une taille d'échantillon raisonnable - il n'y a certainement aucune raison de croire que $30$ (ou $300$ ) est le nombre magique. Selon l'ampleur et la nature de la non-normalité, cela peut prendre très longtemps (cf. réponse de @ Macro ici: régression lorsque les résidus OLS ne sont pas normalement distribués). Si vous croyez que votre ( au sein du groupe) les données brutes ne sont pas tout à fait normal, il peut être préférable d'utiliser un autre type de test, comme le Mann-Whitney $U$ -test . Notez qu'avec des données non normales, le test $U$ Mann-Whitney est susceptible d'être plus puissant que le test $t$ , et peut l'être même si le CLT a démarré. (Il convient également de souligner que le test de normalité est susceptible de vous induire en erreur, voir: les tests de normalité sont-ils «essentiellement inutiles»? )

En tout cas, pour répondre plus explicitement à vos questions, si vous pensez que vos données brutes (au sein du groupe) ne sont pas normalement distribuées, utilisez le test $U$ Mann-Whitney ; si vous pensez que vos données sont normalement distribuées, mais que vous ne connaissez pas la SD a priori, utilisez le test $t$ ; et si vous pensez que vos données sont normalement distribuées et que vous connaissez la SD a priori, utilisez le test $z$ .

Cela peut vous aider à lire la réponse récente de @ GregSnow ici: Interprétation de la valeur de p en comparant également les proportions entre deux petits groupes dans R concernant ces questions.

$t$

$t$$t$$z$

$t$$z$

$z$$t$