Estimation des paramètres LogLikelihood pour le filtre de Kalman gaussien linéaire

J'ai écrit du code qui peut effectuer le filtrage de Kalman (en utilisant un certain nombre de filtres de type Kalman différents [Information Filter et al.]) Pour l'analyse linéaire de l'espace d'état gaussien pour un vecteur d'état à n dimensions. Les filtres fonctionnent très bien et j'obtiens une belle sortie. Cependant, l'estimation des paramètres via l'estimation de loglik vraisemblance me prête à confusion. Je ne suis pas statisticien mais physicien, alors soyez gentil.

Considérons le modèle linéaire de l'espace d'état gaussien

où est notre vecteur d'observation, notre vecteur d'état au pas de temps t α $y_{t}$$\alpha_{t}$$t$ . Les quantités en gras sont les matrices de transformation du modèle d'espace d'état qui sont fixées en fonction des caractéristiques du système considéré. Nous avons aussi

η t ∼ N I D ( 0 , Q t ) , α 1 ∼ N I D ( a 1 , P 1 )

où . Maintenant, j'ai dérivé et implémenté la récursivité du filtre de Kalman pour ce modèle générique d'espace d'état en devinant les paramètres initiaux et les matrices de variance H 1 et Q $t = 1,\ldots, n$$\mathbf{H}_{1}$$\mathbf{Q}_{1}$ je peux produire des tracés comme

où les points sont les niveaux d'eau du Nil pour janvier sur 100 ans, la ligne est l'état estimé de Kalamn et les lignes en pointillés sont les niveaux de confiance à 90%.

Or, pour cet ensemble de données 1D, les matrices et Q t ne sont que des scalaires σ ϵ et σ η respectivement. Alors maintenant, je veux obtenir les paramètres corrects pour ces scalaires en utilisant la sortie du filtre de Kalman et la fonction loglikelihood$\mathbf{H}_{t}$$\mathbf{Q}_{t}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

Où est l'erreur d'état et F t est la variance d'erreur d'état. Maintenant, voici où je suis confus. Du filtre de Kalman, j'ai toutes les informations dont j'ai besoin pour calculer L , mais cela ne me semble pas plus proche de pouvoir calculer la probabilité maximale de σ ϵ et σ η . Ma question est de savoir comment calculer la probabilité maximale de σ ϵ et σ η$v_{t}$$\mathbf{F}_{t}$$L$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$ utilisant l'approche loglik vraisemblance et l'équation ci-dessus? Une panne algorithmique serait comme une bière fraîche pour moi en ce moment ...

Merci pour votre temps.

Remarque. Pour le cas 1D et H t = σ 2 η . Il s'agit du modèle univarié au niveau local.$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\epsilon}$$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\eta}$

Lorsque vous exécutez le filtre de Kalman comme vous l'avez fait, avec des valeurs données de etσ 2 η , vous obtenez une séquence d'innovations νtet leurs covariancesFt, vous pouvez donc calculer la valeur delogL(Yn$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\nu_t$$\boldsymbol{F_t}$$\log L(Y_n)$ utilisant la formule que vous donnez.

En d'autres termes, vous pouvez considérer le filtre de Kalman comme un moyen de calculer une fonction implicite de et σ 2 $\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$ . La seule chose que vous devez faire ensuite est de regrouper ce calcul dans une fonction ou un sous-programme et de gérer cette fonction dans une routine d'optimisation - comme optimdans R. Cette fonction doit accepter comme entrées et σ 2 η et renvoyer log L ( Y n ) .$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\log L(Y_n)$

Certains packages dans R (par exemple dlm) le font pour vous (voir par exemple la fonction dlmMLE).