Distribution d'échantillonnage du rayon de la distribution normale 2D

La distribution normale bivariée avec la moyenne et la matrice de covariance peut être réécrite en coordonnées polaires de rayon et d'angle . Ma question est la suivante: quelle est la distribution d'échantillonnage de , c'est-à-dire de la distance d'un point au centre estimé étant donné la matrice de covariance échantillon ? $\mu$ $\Sigma$ $r$ $\theta$ $\hat{r}$ $x$ $\bar{x}$ $S$

Contexte: La vraie distance d'un point à la moyenne suit une distribution de Hoyt . Avec les valeurs propres de et , son paramètre de forme est , et son paramètre d'échelle est . La fonction de distribution cumulative est connue pour être la différence symétrique entre deux fonctions Q de Marcum. $r$ $x$ $\mu$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ $\Sigma$ $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ $\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

La simulation suggère que le branchement des estimations et pour et dans le vrai cdf fonctionne pour les grands échantillons, mais pas pour les petits échantillons. Le diagramme suivant montre les résultats de 200 fois $\bar{x}$ $S$ $\mu$ $\Sigma$

simulant 20 vecteurs normaux 2D pour chaque combinaison de ( axe ), (lignes) et quantile (colonnes) donnés $q$ $x$ $\omega$
pour chaque échantillon, calculer le quantile donné du rayon observé à $\hat{r}$ $\bar{x}$
pour chaque échantillon, en calculant le quantile de la Hoyt théorique (2D normal) fonction de répartition, et à partir de la fonction de répartition de Rayleigh théoriques après avoir branché les estimations de l' échantillon et . $\bar{x}$ $S$

entrez la description de l'image ici

Lorsque s'approche de 1 (la distribution devient circulaire), les quantiles de Hoyt estimés se rapprochent des quantiles de Rayleigh estimés qui ne sont pas affectés par . Au fur et à mesure que grandit, la différence entre les quantiles empiriques et les quantiles estimés augmente, notamment dans la queue de la distribution. $q$ $q$ $\omega$

— caracal
source

Quelle est la question?

— John

@John I a mis en évidence la question: "Quelle est la distribution d'échantillonnage de [rayon] , c'est-à-dire de la distance d'un point au centre estimé compte tenu de la matrice de convariance échantillon ?"

r

$r$

x

$x$

\bar{x}

$\bar{x}$

S

$S$

— caracal

Pourquoi par opposition à ?

\hat{r}

$\hat{r}$

\hat{r^{2}}

$\hat{r^2}$

— SomeEE

@MathEE simplement parce que la littérature que je connais concerne la distribution de (vrai) , pas (vrai) . Notez que cela n'est pas le cas avec la distance de Mahalanobis discutée dans cette question . Bien sûr, les résultats pour la distribution de seraient les bienvenus.

\hat{r}

$\hat{r}$

r

$r$

r^{2}

$r^{2}$

{\hat{r}}^{2}

$\hat{r}^{2}$

— caracal

Comme vous l'avez mentionné dans votre article, nous connaissons la distribution de l'estimation de si on nous donne , nous connaissons donc la distribution de l'estimation du vrai . $\widehat{r_{true}}$ $\mu$ $\widehat{r^2_{true}}$ $r^2$

Nous voulons trouver la distribution de où sont exprimés sous forme de vecteurs de colonne.

\hat{r^{2}} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})

$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$

x_{i}

$x_i$

Nous faisons maintenant l'astuce standard

\begin{array}{rcl} \hat{r_{t r u e}^{2}} & = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{T} (x_{i} - μ) \\ = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ)^{T} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ) \\ = & [\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})] + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) (1) \\ = & \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$ où résulte de l'équation et sa transposition.

(1)

$(1)$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = (\bar{x} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = 0

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$

Notez que est la trace de la matrice de covariance échantillon et ne dépend que de la moyenne de l'échantillon . Ainsi, nous avons écrit comme la somme de deux variables aléatoires indépendantes. Nous connaissons les distributions des et et nous avons donc terminé via l'astuce standard en utilisant cela les fonctions caractéristiques sont multiplicatives. $\widehat{r^2}$ $S$ $(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ $\overline{x}$

\hat{r_{t r u e}^{2}} = \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$

\hat{r_{t r u e}^{2}}

$\widehat{r^2_{true}}$

(\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

Modifié pour ajouter:

$||x_i-\mu||$ est Hoyt donc il a pdf où est la fonction Bessel modifiée du premier type .

f (ρ) = \frac{1 + q^{2}}{q ω} ρ e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ^{2}} I_{O} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ^{2})

$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$

I_{0}

$I_0$

0^{t h}

$0^{th}$

Cela signifie que le pdf de est $||x_i-\mu||^2$

f (ρ) = \frac{1}{2} \frac{1 + q^{2}}{q ω} e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ} I_{0} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ) .

$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$

Pour faciliter la notation, définissez , et . $a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$ $b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$ $c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

La fonction de génération de moment de est $||x_i-\mu||^2$

{\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s - b)^{2} - a^{2}}} & (s - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$

Ainsi, la fonction de génération de moment de est et la fonction de génération de moment de est $\widehat{r^2_{true}}$

{\begin{cases} \frac{c^{N}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{N / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

| | \bar{x} - μ | |^{2}

$||\overline{x} - \mu||^2$

{\begin{cases} \frac{N c}{\sqrt{(s - N b)^{2} - (N a)^{2}}} = \frac{c}{\sqrt{(s / N - b)^{2} - a^{2}}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$

Cela implique que la fonction de génération de moment de est $\widehat{r^2}$

{\begin{cases} \frac{c^{N - 1}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{(N - 1) / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else . \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$

L'application de la transformée de Laplace inverse donne que a pdf $\widehat{r^2}$

g (ρ) = \frac{\sqrt{π} N c^{N - 1}}{Γ (\frac{N - 1}{2})} {(\frac{2 i a}{N ρ})}^{(2 - N) / 2} e^{b N ρ} J_{N / 2 - 1} (i a N ρ) .

$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$

— SomeEE
source

Je vous remercie! Je vais devoir travailler sur les détails avant d'accepter.

— caracal

\hat{r_{true}^{2}} \sim Hoyt

$\widehat{r^{2}_{\text{true}}} \sim \text{Hoyt}$ , et ? Alors la fonction caractéristique de est le produit des deux fonctions caractéristiques comme expliqué ici . Cela répond en effet à ma question. Savez-vous comment transformer convenablement telle sorte que sa distribution soit connue sans accès à ? Comme la distance de Mahalanobis ou la statistique univariée ?

| | \bar{x} - μ | |^{2} \sim N (0, \frac{1}{N} Σ)

$||\bar{x}-\mu||^{2} \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{N}\Sigma)$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

Σ

$\Sigma$

t

$t$

— caracal

J'ai modifié ma réponse en une réponse complète. Veuillez me faire savoir si vous êtes d'accord.

— SomeEE

Je ne suis pas sûr de unknown . La chose évidente à faire serait d'essayer de "diviser" par la covariance d'échantillon qui ressemblerait à une somme des distances de Mahalanobis, c'est-à-dire considérer . Malheureusement, cette somme est toujours de .

Σ

$\Sigma$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^2}$

S

$S$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} S^{- 1} (x_{i} - \bar{x})

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T S^{-1}(x_i-\overline{x})$

1

$1$

— SomeEE

Merci de continuer à travailler sur la réponse! Je ne suis pas sûr de la distribution de . Je ne suis pas en mesure de faire face à cette analytiquement, mais une simulation rapide de donne une autre distribution que : code de simulation de R . Bien qu'il se pourrait bien que je ne comprenne pas correctement la paramétrisation .

| | x_{i} - μ | |^{2}

$||x_{i}-\mu||^{2}$

r^{2}

$r^{2}$

Γ (q, \frac{ω}{q})

$\Gamma(q, \frac{\omega}{q})$

Γ

$\Gamma$

— caracal