Pourquoi le test F dans les modèles linéaires gaussiens est le plus puissant?

Pour un modèle linéaire gaussien où est supposé se trouver dans un espace vectoriel et a la distribution normale standard sur , la statistique du test pour où est un espace vectoriel, est une fonction un à un croissante de la statistique de déviance : Comment savoir que cette statistique fournit le test le plus puissant pour $Y=\mu+\sigma G$ $\mu$ $W$ $G$ $\mathbb{R}^n$ $F$ $H_0\colon\{\mu \in U\}$ $U \subset W$

f = ϕ (2 \log \frac{sup_{μ \in W, σ > 0} L (μ, σ | y)}{sup_{μ \in U, σ > 0} L (μ, σ | y)}) .

$f=\phi\left( 2\log \frac{\sup_{\mu \in W, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)}{\sup_{\mu \in U, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)} \right).$

H_{0}

$H_0$ (peut-être après avoir éliminé des cas particuliers inhabituels)? Cela ne découle pas du théorème de Neyman-Pearson car ce théorème affirme que le test du rapport de vraisemblance est le plus puissant pour les hypothèses ponctuelles

H_{0} : {μ = μ_{0}, σ = σ_{0}}

$H_0\colon\{\mu=\mu_0, \sigma=\sigma_0\}$ et

H_{1} : {μ = μ_{1}, σ = σ_{1}}

$H_1\colon\{\mu=\mu_1,\sigma=\sigma_1\}$ .

— Stéphane Laurent
source

Les familles MLR et le théorème de Karlin-Rubin peuvent être pertinents ici.

— whuber

Vous pouvez réécrire

H_{0} : μ \in U

$H_0: \mu\in U$ pour avoir une forme comme

H_{0} : δ = 0

$H_0:\delta=\mathbf 0$ (contre l'alternative qu'il n'est pas 0). Essentiellement,

δ

$\delta$ sera dans le sous-espace de quotient correspondant

W / U

$W/U$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Et puis vous voulez dire que le théorème de Neyman-Pearson fournit la conclusion?

— Stéphane Laurent

Je suis loin d' être expert en la matière, et il y aura probablement quelque chose d' important que j'ai manqué, mais je pense que de Neyman et Pearson papier discute des hypothèses qui incluent des paramètres non spécifiés autres que ceux de l'essai; cela vaut probablement la peine d'être examiné.

— Glen_b -Reinstate Monica

Cher @ StéphaneLaurent: Nous ne pouvons pas le savoir car ce n'est pas vrai.

— cardinal

J'ai suivi cette question pendant un certain temps, en espérant que quelqu'un ayant une connaissance plus approfondie de la théorie des tests classiques pourrait expliquer pourquoi ce test n'est pas uniformément le plus puissant en général tout comme @cardinal l'écrit dans un commentaire. C'est le folklore que les tests uniformément les plus puissants ne peuvent vraiment être construits que pour des hypothèses unilatérales sur des paramètres univariés, mais un tel commentaire ne répond pas vraiment à la question. $F$ $-$

L'exemple 5.5 des Statistiques théoriques de Cox et Hinkley montre que le test est un test similaire uniformément le plus puissant pour une moyenne univariée avec une variance inconnue. En se référant aux techniques de The Analysis of Variance de Scheffé, le même exemple prétend que le test d'une hypothèse sur un paramètre dans le cas multivarié est toujours un test similaire uniformément le plus puissant avec les paramètres restants et la variance comme paramètres de nuisance. Lorsque la codimension de est 1, le test équivaut à un test . $t$ $t$ $U$ $F$ $t$

L'exemple 5.20, toujours dans Cox et Hinkley, considère l'ANOVA unidirectionnelle. Il fait valoir que dans le cas d'au moins trois groupes, il n'y a pas de test similaire uniformément le plus puissant de l'hypothèse qu'il n'y a pas de différences entre les groupes. Cela donne les ingrédients pour montrer que le test n'est pas uniformément le plus puissant, car pour des alternatives spécifiques, il existe des tests plus puissants . Le test est cependant le test invariant uniformément le plus puissant . $F$ $t$ $F$

Alors, que signifie alors similaire et invariant ? Une séquence imbriquée de régions critiques pour les tests de taille est appelée similaire si la probabilité de rejet sous l'hypothèse est (pour tous les choix possibles de paramètres de nuisance). Le test est invariant si les régions critiques sont invariantes sous un groupe de transformations. Pour l'ANOVA unidirectionnelle, le groupe est un groupe de transformations orthogonales. Je recommande de lire le chapitre 5 dans Cox et Hinkley pour plus de détails. Voir également la section 2.10 du livre de Scheffé sur les propriétés optimales du test $\alpha \in [0,1]$ $\alpha$ $F$

— NRH
source