La signification de représenter le simplexe comme une surface triangulaire dans la distribution de Dirichlet?

Je lis un livre qui présente la distribution Dirchilet, puis a présenté des chiffres à ce sujet. Mais je n'ai pas vraiment pu comprendre ces chiffres. J'ai attaché la figure ici en bas. Ce que je ne comprends pas, c'est la signification des triangles.

Normalement, quand on veut tracer une fonction de 2 variables, on prend la valeur de var1 et va2 puis on trace la valeur de la fonction de ces deux variables ... ce qui donne une visualisation en dimension 3D. Mais ici, il y a 3 dimensions et une autre valeur pour la valeur de la fonction, donc cela fait une visualisation dans l'espace 4D. Je ne peux pas comprendre ces chiffres!

J'espère que quelqu'un pourra les clarifier s'il vous plait!

ÉDITER: voici ce que je ne comprends pas de la figure 2.14a. Nous avons donc tiré de K = 3 dirichlet un échantillon thêta (qui est essentiellement un vecteur) qui est: thêta = [thêta1, thêta2, thêta3]. Le triangle trace [theta1, theta2, theta3]. La distance de l'origine à chaque thêta_i est la valeur de thêta_i. Ensuite, pour chaque thêta_i, il a mis un sommet et connecté les trois sommets et fait un triangle. Je sais que si je branche [theta1, theta2, theta3] dans dir (theta | a) j'obtiendrai un nombre qui est la probabilité conjointe du vecteur theta. Je comprends également que la probabilité de variables aléatoires continues est une mesure d'une zone. Mais ici nous avons 3 dimensions donc la probabilité conjointe sera la mesure du volume de l'espace depuis le plan rose et sous ... c'est-à-dire la pyramide. Maintenant, je ne comprends pas quel est le rôle du triangle ici.

Je ne comprends pas quel est le rôle du triangle ici. Qu'est-ce qu'il essaie de communiquer ou de visualiser?

Tous les points du triangle doivent satisfaire aux deux contraintes: entre zéro et un dans chaque dimension ( ) et tous résument jusqu'à un ( ).θ 0 + θ 1 + θ 2 = $0 \leq \theta \leq 1$$\theta_0 + \theta_1 + \theta_2 = 1$

La façon dont je l'ai finalement compris est la suivante:

Donc (a) montre un espace 3-D avec comme coordonnées. Ils ne varient qu'entre 0 et 1.$\theta_{1, 2, 3}$

En (b), un triangle est montré, c'est notre simplexe.

(c) montre deux exemples de points qui "reposent" sur le simplex qui remplissent également le deuxième critère (somme jusqu'à un).

(d) montre un autre exemple de point sur le simplexe, les mêmes contraintes tiennent

Dans (e), j'ai essayé de montrer une projection du simplexe sur un triangle 2D avec tous les exemples de points montrés précédemment.

J'espère que cela a plus de sens maintenant :)

Le graphique 2.14 (a) montre un plan fait de trois sommets sur chaque axe. La distance d'un sommet de l'origine est , correspondant à l'une des classes. La région entourée par le plan rose et les plans des axes est la probabilité de (vecteur) k = 3 $\theta_i$$k=3$$\theta$. Supposons maintenant que vous incliniez ce plan afin d'avoir une pyramide avec le plan rose, le visage le plus proche du lecteur, placé à plat sur la page. Supprimez ensuite la troisième dimension "ressortant" de la page et coloriez plutôt le triangle de sorte que la région de densité plus élevée, avec une distance plus longue de la base à une surface, soit plus rouge. C'est ce que montrent les graphiques 2.14 (b) et 2.14 (c). Plus le rouge est concentré près d'un sommet, plus la classe associée à ce sommet est probable. De même, si la région rouge n'est pas très proche d'un sommet, il n'est pas particulièrement probable qu'un événement ait une probabilité plus élevée d'appartenance à l'une des classes.

Cette pyramide, cependant, n'a de sens que comme une réalisation unique de la distribution de Dirichlet. Dessiner à nouveau à partir de la même distribution peut produire une pyramide différente avec des longueurs pour chacun des sommets. La principale différence entre (a) et (b) / (c) est que (a) affiche graphiquement la probabilité d'un tirage du vecteur . Les graphiques (b) et (c) montrent la densité de probabilité pour les valeurs dans le simplexe , c'est-à-dire qu'ils tentent de présenter la fonction de densité de probabilité pour toutes les valeursθ θ k = 3 θ θ ∼ Dir ( α $\theta$$\theta$$\theta$$k=3$$\theta$dans le support. Une façon de penser à (b) et (c) est comme un point ayant une couleur rouge supplémentaire en fonction de la hauteur moyenne entre le plan rose plat et la surface de la pyramide, en moyenne sur de nombreux tirages de .$\theta\sim\text{Dir}(\alpha)$