Pourquoi un avant sur la variance est-il considéré comme faible?

Contexte

L'un des faibles a priori sur variance les plus couramment utilisés est le gamma inverse avec les paramètres (Gelman 2006) .$\alpha =0.001, \beta=0.001$

Cependant, cette distribution a un IC à 90% d'environ .$[3\times10^{19},\infty]$

library(pscl)
sapply(c(0.05, 0.95), function(x) qigamma(x, 0.001, 0.001))

[1] 3.362941e+19          Inf

À partir de cela, j'interprète que l' donne une faible probabilité que la variance soit très élevée, et la très faible probabilité que la variance soit inférieure à 1 .$IG(0.001, 0.001)$$P(\sigma<1|\alpha=0.001, \beta=0.001)=0.006$

pigamma(1, 0.001, 0.001)
[1] 0.006312353

Question

Suis-je en train de manquer quelque chose ou s'agit-il en fait d'une information préalable?

mise à jour pour clarifier, la raison pour laquelle je considérais cette information est parce qu'elle prétend très fortement que la variance est énorme et bien au-delà de l'échelle de presque toutes les variances jamais mesurées.

suivi Une méta-analyse d'un grand nombre d'estimations de la variance fournirait-elle un préalable plus raisonnable?

Référence

Gelman 2006. Distributions antérieures des paramètres de variance dans les modèles hiérarchiques . Analyse bayésienne 1 (3): 515–533

En utilisant la distribution gamma inverse, nous obtenons:

Vous pouvez facilement voir que si et α → 0 alors le gamma inverse approchera le Jeffreys avant. Cette distribution est appelée "non informative" car elle est une approximation correcte de la priorité Jeffreys$\beta \rightarrow 0$$\alpha \rightarrow 0$

Ce qui n'est pas informatif pour les paramètres d'échelle voir page 18 ici par exemple , car cet a priori est le seul qui reste invariant sous un changement d'échelle (notez que l'approximation n'est pas invariante). Cela a une intégrale indéfinie de qui montre qu'elle est incorrecte si la plage de σ 2 comprend 0 ou ∞ . Mais ces cas ne sont que des problèmes en mathématiques - pas dans le monde réel. N'observez jamais réellement une valeur infinie de variance, et si la variance observée est nulle, vous avez des données parfaites!. Car vous pouvez définir une limite inférieure égale à L > 0 et une limite supérieure égale $\log(\sigma^2)$$\sigma^2$$0$$\infty$$L>0$ , et votre distribution est correcte.$U<\infty$

Bien qu'il puisse sembler étrange que ce soit "non informatif" en ce qu'il préfère une petite variance aux grandes, mais ce n'est qu'à une seule échelle. Vous pouvez montrer que a une distribution uniforme incorrecte. Donc, cet avant ne favorise aucune échelle par rapport à toute autre$\log(\sigma^2)$

Bien que cela ne soit pas directement lié à votre question, je suggérerais une "meilleure" distribution non informative en choisissant les limites supérieure et inférieure et dans le Jeffreys avant plutôt que et . Habituellement, les limites peuvent être définies assez facilement en réfléchissant à ce que signifie réellement dans le monde réel. Si c'était l'erreur dans une sorte de quantité physique - ne peut pas être plus petit que la taille d'un atome, ou la plus petite taille que vous puissiez observer dans votre expérience. Plus$L$$U$$\alpha$$\beta$$\sigma^2$$L$$U$ne pouvait pas être plus grand que la terre (ou le soleil si vous vouliez être vraiment conservateur). De cette façon, vous conservez vos propriétés d'invariance, et c'est plus facile avant d'échantillonner à partir de: prendre , puis la valeur simulée as .$q_{(b)} \sim \mathrm{Uniform}(\log(L),\log(U))$$\sigma^{2}_{(b)}=\exp(q_{(b)})$

C'est assez proche de l'appartement. Sa médiane est de 1,9 E298, presque le plus grand numéro un peut représenter en arithmétique flottante double précision. Comme vous le faites remarquer, la probabilité qu'il attribue à tout intervalle qui n'est pas vraiment énorme est vraiment faible. Difficile d'être moins informatif que ça!