Expliquer la décomposition de Beveridge Nelson

Quelqu'un peut-il expliquer comment fonctionne la décomposition Beveridge-Nelson? Jusqu'à présent, tout ce que je sais, c'est qu'il estime les cycles de tendance dans les données de séries chronologiques non stationnaires.

J'ai regardé plusieurs articles de revues et je suis toujours confus sur la façon dont cela fonctionne http://research.economics.unsw.edu.au/jmorley/bn.pdf

time-series

— user3084006
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Ne devrait pas être ? Je vais bien avec le reste alors. Belle explication.

u_{t} = \sum_{j = 0}^{\infty} ψ_{j} ϵ_{t - j}

$u_t = \sum_{j=0}^\infty \psi_j \epsilon_{t-j}$

J'aime la note d'Eric Zivot sur la décomposition de Beveridge-Nelson.

— Richard Hardy

La décomposition de Beveridge-Nelson est une décomposition du processus . Un tel processus a une racine unitaire: $ARIMA(p,1,q)$

y_{t} = y_{t - 1} + u_{t},

$y_t=y_{t-1}+u_{t},$

mais n'est pas un processus de bruit blanc, c'est un processus . Ce que Beveridge et Nelson ont observé dans leur article d'origine, c'est qu'il est possible de décomposer ce processus en deux parties: $u_t$ $ARMA(p,q)$

y_{t} = τ_{t} + ξ_{t},

$y_t=\tau_t+\xi_t,$

où est maintenant une marche aléatoire "pure", c'est-à-dire , où est un processus de bruit blanc. Le terme est un autre processus stationnaire. Cette décomposition est l'identité algébrique (les détails ci-dessous), mais elle peut conduire à des interprétations intéressantes. $\tau_t$ $\tau_t=\tau_{t-1}+\varepsilon_t$ $\varepsilon_t$ $\xi_t$

La déclaration précise. Soit , où est un processus de bruit blanc et . alors $u_t=\sum_{j=0}^\infty \psi_{j}\varepsilon_{t-j}$ $\varepsilon_t$ $\sum j|\psi_j|<\infty$

u_{1} + . . . + u_{t} = ψ (1) (ε_{1} + . . . + ε_{t}) + η_{t} - η_{0},

$u_1+...+u_t=\psi(1)(\varepsilon_1+...+\varepsilon_t)+\eta_t-\eta_0,$

où

ψ (1) = \sum_{j = 0}^{\infty} ψ_{j}, η_{t} = \sum_{j = 0}^{\infty} α_{j} ε_{t - j}, α_{j} = - (ψ_{j + 1} + ψ_{j + 2} + . . .), \sum | α_{j} | < \infty .

$\psi(1)=\sum_{j=0}^\infty\psi_j,\quad \eta_t=\sum_{j=0}^\infty\alpha_j\varepsilon_{t-j},\quad \alpha_j=-(\psi_{j+1}+\psi_{j+2}+...), \quad \sum|\alpha_j|<\infty.$

Cette décomposition a une belle application, par exemple

\frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{t = 1}^{T} u_{t} = \frac{1}{\sqrt{T}} ψ (1) \sum_{t = 1}^{T} ε_{t} + \frac{1}{\sqrt{T}} (η_{t} - η_{0}) \to N (0, [ψ (1) σ]^{2}),

$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^Tu_{t}=\frac{1}{\sqrt{T}}\psi(1)\sum_{t=1}^T\varepsilon_t+\frac{1}{\sqrt{T}}(\eta_t-\eta_0)\to N(0,[\psi(1)\sigma]^2),$

où nous appliquons le théorème de la limite centrale pour le premier terme et observons que le deuxième terme va à zéro, en raison de la stationnarité (la moyenne est zéro et la variance du terme va à zéro, en raison de T dans le dénominateur).

Nous obtenons donc que le comportement limitant du processus ARIMA (p, 1, q) est simplement le même que pour un processus ARIMA (0,1,0). Ce fait est beaucoup utilisé dans la littérature des séries chronologiques. Par exemple, le test de racine unitaire de Phillips et Perron est basé sur lui.

— mpiktas
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c'est probablement une question stupide car je n'utilise pas assez la validation croisée, mais pourquoi est-ce que je vois tous les signes et tirets dollar? manque-t-il une sorte de script?

— user3084006

Donc, le texte à l'intérieur des signes dollar n'est pas converti en formules? CrossValidated a activé MathJax, ce qui signifie que vous pouvez utiliser du code Latex dans le texte, qui est traduit dans de belles formules mathématiques. Si vous ne le voyez pas, vous utilisez peut-être une configuration de navigateur non standard. Quel navigateur utilisez-vous?

— mpiktas

Ah c'est ce que c'est merci. J'utilise Firefox. Je pense que l'addon noscript peut bloquer la fonctionnalité.

— user3084006

Oui, mathjax utilise javascript. Activez javascript sur cette vue pour voir la différence.

— mpiktas

(+1) Je cherchais une bonne (et courte) interprétation de BND et j'ai enfin trouvé :)

— Dmitrij Celov