Je sais que l'algèbre linéaire et l'analyse (en particulier la théorie des mesures) sont importantes. Est-il utile de suivre des cours de deuxième cycle en analyse réelle et complexe? Dois-je suivre des cours d'algèbre abstraite au-delà des cours d'introduction, par exemple l'algèbre commutative et la géométrie algébrique?
Réponses:
À mon avis, certaines options à étudier au niveau des études supérieures pourraient être: l'analyse fonctionnelle (un cadre naturel pour les formulations statistiques), les processus stochastiques, le contrôle stochastique (l'analyse séquentielle est l'arrêt optimal), diverses saveurs de la PDE (de nombreux problèmes probabilistes sont formulés comme suit: PDE paraboliques et non linéaires). Presque tous ces éléments nécessitent une véritable analyse au niveau du premier cycle. Si vous êtes intéressé par des sujets théoriques, alors la théorie de la mesure est également très importante comme condition préalable au traitement complet de ces sujets. Une analyse complexe aura une certaine utilité, mais moins que ce qui précède; il existe des liens avec la probabilité (c'est-à-dire les fonctions harmoniques), mais cela pourrait très bien ne pas en valoir la peine
L'algèbre commutative et la géométrie algébrique ne seront pas très utiles (une connexion à laquelle je peux penser est la statistique algébrique, qui n'est pas largement enseignée). Ces sujets seront également très difficiles sans une solide formation en mathématiques.
Si vous voulez comprendre la théorie de la mesure, vous n'avez pas d'autre choix que de faire une analyse réelle et une analyse avancée (c.-à-d. Topologie d'ensemble de points). L'algèbre abstraite est certainement plus adaptée aux notes que l'analyse, mais je pense qu'elle est beaucoup moins utile.
Obtenez une analyse réelle, mais pas de la façon dont je vois les gens le faire. Lorsque nous interviewons des étudiants de premier cycle en mathématiques, ils ne semblent pas maîtriser les outils de la véritable analyse, des choses simples comme prendre des intégrales sont hors de portée pour la plupart d'entre eux. Je ne comprends toujours pas pourquoi. Alors, mon conseil: faites tout d'abord attention aux candidatures.
Obtenez également un cours ODE et PDE, et une analyse fonctionnelle et une géométrie différentielle. Algèbre linéaire et tenseurs, bien sûr aussi. Tout en mettant l'accent sur les applications.
En ce qui concerne l'algèbre commutative et la géométrie algébrique, les sujets qui sont le moins abordés dans les autres réponses, mon impression est que tant que vous évitez les statistiques algébriques, vous pouvez vous en passer entièrement. Éviter les statistiques algébriques peut être de plus en plus difficile à l'avenir, car il a beaucoup d'applications et d'intersections avec l'apprentissage machine / statistique, qui est très important dans la recherche actuelle, ainsi que dans d'autres domaines. L'algèbre commutative et la géométrie algébrique sont les matières que vous souhaitez apprendre le plus spécifiquement pour les statistiques algébriques, voir par exemple les réponses à cette question: Géométrie algébrique pour les statistiques
En revanche, tous les sous-domaines des statistiques utilisent l'analyse. (Pas tellement d'analyse complexe, bien que cela puisse être utile pour comprendre les fonctions caractéristiques, un point qui ne semble pas encore avoir été soulevé.) Je pense que la théorie de la mesure au niveau du premier cycle serait probablement suffisante, car j'ai rencontré des statisticiens professionnels (par exemple des professeurs dans les meilleurs départements) qui méprisent la théorie de la mesure, mais si vous voulez vraiment comprendre la théorie de la mesure, un cours d'études supérieures en analyse réelle est d'une grande aide. La théorie des mesures de premier cycle a tendance à se concentrer exclusivement sur la mesure de Lebesgue sur la ligne réelle, qui a beaucoup de belles propriétés que les mesures générales ne possèdent pas nécessairement, et qui plus est une mesure infinie. En revanche, un cours d'analyse réelle de niveau supérieur aura tendance à mettre davantage l'accent sur les mesures abstraites, qui rendent les mesures de probabilité en général plus faciles à comprendre, et rendent également la relation plus claire entre les mesures de probabilité continues et discrètes - en d'autres termes, vous pourrez voir les deux sujets se réunir dans un même cadre dans votre esprit pour la première fois. De même, on pourrait prouver le théorème d'extension de Kolmogorov dans un tel cours. Et une compréhension des mesures abstraites est vraiment indispensable pour une compréhension rigoureuse des processus stochastiques en temps continu. Il est même utile pour comprendre les processus stochastiques en temps discret, bien que moins important que dans le cas continu. vous pourrez voir les deux sujets se rencontrer dans un même cadre dans votre esprit pour la première fois. De même, on pourrait prouver le théorème d'extension de Kolmogorov dans un tel cours. Et une compréhension des mesures abstraites est vraiment indispensable pour une compréhension rigoureuse des processus stochastiques en temps continu. Il est même utile pour comprendre les processus stochastiques en temps discret, bien que moins important que dans le cas continu. vous pourrez voir les deux sujets se rencontrer dans un même cadre dans votre esprit pour la première fois. De même, on pourrait prouver le théorème d'extension de Kolmogorov dans un tel cours. Et une compréhension des mesures abstraites est vraiment indispensable pour une compréhension rigoureuse des processus stochastiques en temps continu. Il est même utile pour comprendre les processus stochastiques en temps discret, bien que moins important que dans le cas continu.