Inverser la transformée de Fourier pour une distribution de Fisher

La fonction caractéristique de la distribution de Fisher est: où est la fonction hypergéométrique confluente . J'essaie de résoudre la transformée de Fourier inverse de la -convolution pour récupérer la densité d'une variable , soit: dans le but d'obtenir la distribution de la somme de $\mathcal{F}(1,\alpha)$

C (t) = \frac{Γ (\frac{α + 1}{2}) U (\frac{1}{2}, 1 - \frac{α}{2}, - je t α)}{Γ (\frac{α}{2})}

$C(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) U\left(\frac{1}{2},1-\frac{\alpha }{2},-i t \alpha \right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

U

$U$

F_{t, x}^{- 1}

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1}$

n

$n$

x

$x$

F_{t, X}^{- 1} (C (t)^{n})

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1} \left(C(t)^n\right)$

n

$n$ Variables aléatoires distribuées par Fisher. Je me demande si quelqu'un a une idée car cela semble très difficile à résoudre. J'ai essayé des valeurs de et en vain. Remarque: pour par convolution, j'obtiens le pdf de la moyenne (pas la somme):

α = 3

$\alpha=3$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

\frac{3 (12 (X^{2} + 3) (5 X^{2} - 3) X^{2} + 9 (20 X^{4} + 27 X^{2} + 9) bûche (\frac{4 X^{2}}{3} + 1) + 2 \sqrt{3} (X^{2} + 15) (4 X^{2} + 3) X^{3} {bronzer}^{- 1} (\frac{2 X}{\sqrt{3}}))}{π^{2} X^{3} {(X^{2} + 3)}^{3} (4 X^{2} + 3)}

$\frac{3 \left(12 \left(x^2+3\right) \left(5 x^2-3\right) x^2+9 \left(20 x^4+27 x^2+9\right) \log \left(\frac{4 x^2}{3}+1\right)+2 \sqrt{3} \left(x^2+15\right) \left(4 x^2+3\right) x^3 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)\right)}{\pi ^2 x^3 \left(x^2+3\right)^3 \left(4 x^2+3\right)}$ ,

où est une moyenne de 2 variables. Je sais que c'est compliqué, mais j'aimerais avoir une idée de l'approximation de la distribution du bassin. $x$

— Nero
source

cette question est-elle vivante?

— Brethlosze

Oui, il est toujours ouvert.

— Nero

Je suppose que vous êtes sous un paquet symbolique non?

— Brethlosze

Connexes (?): Mathoverflow.net/questions/184367/… jstor.org/stable/2287787?seq=1#page_scan_tab_contents sciencedirect.com/science/article/pii/016771529190098C

— kjetil b halvorsen

Il n'y a pas de densité de forme fermée pour une convolution de statistiques F, donc essayer d'inverser analytiquement la fonction caractéristique ne mènera probablement à rien d'utile.

Dans les statistiques mathématiques, l'expansion inclinée d'Edgeworth (également connue sous le nom d'approximation du point de selle) est une technique célèbre et souvent utilisée pour approximer une fonction de densité compte tenu de la fonction caractéristique. L'approximation du point de selle est souvent remarquablement précise. Ole Barndorff-Nielsen et David Cox ont écrit un manuel expliquant cette technique mathématique.

Il existe d'autres façons d'aborder le problème sans utiliser la fonction caractéristique. On pourrait s'attendre à ce que la distribution de convolution ressemble à une distribution F. On pourrait essayer une approximation comme pour la -convolution, puis choisir et pour corriger les deux premiers moments de la distribution. Ceci est facile étant donné la moyenne et la variance connues de la distribution F. $aF(n,k)$ $n$ $a$ $k$

$\alpha$ $n$ $a=n$ $k=\infty$ $\alpha$

— Gordon Smyth
source