Tester si deux échantillons de distributions binomiales sont conformes au même p

Supposons que j'ai fait:

$n_1$ essais indépendants avec un taux de réussite inconnu $p_1$ et $k_1$ succèsobservés.
$n_2$ essais indépendants avec un taux de réussite inconnu $p_2$ et dessuccès observés $k_2$ .

Si, maintenant $p_1 = p_2 =: p$ mais encore inconnu, la probabilité $p(k_2)$ d'observer $k_2$ pour un donné $k_1$ (ou vice versa) est proportionnelle à , donc si je veux tester , je n'ai qu'à regarder dans quel quantile de la distribution correspondante se trouvent mes observations. $\int_0^1 B(n_1,p,k_1) B(n_2, p, k_2) \text{d}p = \frac{1}{n_1+n_2+1}\binom{n_1}{k_1}\binom{n_2}{k_2}\binom{n_1+n_2}{k_1+k_2}^{-1}$ $p_1 \neq p_2$

Jusqu'ici pour réinventer la roue. Maintenant, mon problème est que je ne trouve pas cela dans la littérature, et donc je souhaite savoir: Quel est le terme technique pour ce test ou quelque chose de similaire?

hypothesis-testing binomial references

— Wrzlprmft
source

Pourquoi ne pas utiliser le test z à deux proportions ( en.wikipedia.org/wiki/Statistical_hypothesis_testing ) (si je comprends bien votre problème).

— Verena Haunschmid

@ExpectoPatronum: En bref, le plus gros problème est que ce test nécessite au moins 5 succès et échecs pour chaque observation, ce qui peut ne pas être indiqué dans ma demande et indique également que des approximations (inutiles) sont faites.

— Wrzlprmft

ok, c'est un problème mais la plupart des tests ont des exigences similaires.

— Verena Haunschmid

@ExpectoPatronum: Quoi qu'il en soit, à la recherche d'une alternative exacte au test z à deux proportions, j'ai trouvé le test exact de Fisher, qui semble très similaire à première vue (mais je ne l'ai pas encore examiné en détail).

— Wrzlprmft

@ExpectoPatronum: La division n'a pas d'importance, car le grand terme n'est que proportionnel à et est exactement la constante de normalisation. Quoi qu'il en soit, j'ai maintenant confirmé qu'il s'agit du test exact de Fisher, que j'ai trouvé grâce à vous.

p (k_{2})

$p(k_2)$

(n_{1} + n_{2} + 1)

$(n_1+n_2+1)$

— Wrzlprmft

La statistique de test est celle du test exact de Fisher . $p(k_2)$

Depuis normalisation peut être obtenue en multipliant par et ainsi:

\sum_{k_{2}}^{n_{2}} \frac{1}{n_{1} + n_{2} + 1} (\binom{n_{1}}{k_{1}}) (\binom{n_{2}}{k_{2}}) {(\binom{n_{1} + n_{2}}{k_{1} + k_{2}})}^{- 1} = \frac{1}{n_{1} + n_{2} + 1},

$\sum_{k_2}^{n_2} \frac{1}{n_1+n_2+1}\binom{n_1}{k_1}\binom{n_2}{k_2}\binom{n_1+n_2}{k_1+k_2}^{-1} = \frac{1}{n_1+n_2+1},$

n_{1} + n_{2} + 1

$n_1+n_2+1$

p (k_{2}) = (\binom{n_{1}}{k_{1}}) (\binom{n_{2}}{k_{2}}) {(\binom{n_{1} + n_{2}}{k_{1} + k_{2}})}^{- 1} .

$p(k_2) = \binom{n_1}{k_1}\binom{n_2}{k_2}\binom{n_1+n_2}{k_1+k_2}^{-1}.$

— Wrzlprmft
source