Estimateur non biaisé pour la plus petite des deux variables aléatoires

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Supposons que $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ et $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

$z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$

L'estimateur simple de où et sont par exemple des moyennes d'échantillon de et , est biaisé (bien que cohérent). Il a tendance à sous-mesurer . $\min(\bar{x}, \bar{y})$ $\bar{x}$ $\bar{y}$ $X$ $Y$ $z$

Je ne peux pas penser à un estimateur sans biais pour . Existe-t-il? $z$

Merci pour toute aide.

random-variable unbiased-estimator minimum

— pazam
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Ce ne sont que quelques commentaires et non une réponse (il n'y a pas assez de points de rep.)

(1). Il existe une formule explicite pour le biais de l'estimateur simple ici: $min(\bar{x},\bar{y})$

Clark, CE 1961, mars-avril. Le plus grand d'un ensemble fini de variables aléatoires. Recherche opérationnelle 9 (2): 145-162.

Je ne sais pas comment cela aide

(2). Ce n'est qu'une intuition, mais je pense qu'un tel estimateur n'existe pas. S'il existe un tel estimateur, il devrait également être sans biais lorsque . Par conséquent, toute «rétrogradation» qui rend l'estimateur inférieur à la moyenne pondérée des deux moyennes d'échantillonnage rend l'estimateur biaisé dans ce cas. $\mu_x=\mu_y=\mu$

— Ou Zuk
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en théorie, toute correction pourrait finir par avoir une moyenne nulle dans ce cas.

— Cardinal

Juste pour clarifier, cependant, je ne prétends pas croire qu'il existe un estimateur non biaisé. En fait, je suis d'accord qu'il n'y en a probablement pas .

— Cardinal

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Oui d'accord - ce n'est que de l'intuition. L'article suivant donne les conditions d'existence d'un estimateur non biaisé pour une fonction d'une moyenne gaussienne univariée - peut être étendu à plusieurs variables: stat.ncsu.edu/library/mimeo.archive/ISMS_1988_1929.pdf

— Ou Zuk

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

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$\mu_x=\mu_y$

$T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$ , ce qui conduit à une contradiction.

Hirano et Porter ont une preuve générale dans un prochain article d'Econometrica (voir leur proposition 1). Voici la version du document de travail:

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

— user8817
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Très agréable! Merci d'avoir suivi cette question.

— whuber

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Il existe un estimateur pour le minimum (ou le maximum) d'un ensemble de nombres à partir d'un échantillon. Voir Laurens de Haan, «Estimation of the minimum of a function using order statistics», JASM, 76 (374), juin 1981, 467-469.

— Jan Galkowski
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Malheureusement, je ne pense pas que le document que vous citez aborde ce problème. Le document traite du moment où vous avez un ensemble de variables non stochastiques A et de la recherche du plus petit élément dans A par échantillonnage. Dans le contexte de ce problème, chaque élément de A serait une variable aléatoire, et c'est là que réside le kicker. Vous devez trouver un estimateur non biaisé de la moyenne de la plus petite variable aléatoire dans A.

— pazam

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Je serais presque sûr qu'il n'existe pas d'estimateur non biaisé. Mais les estimateurs non biaisés n'existent pas pour la plupart des quantités, et le caractère non biaisé n'est pas une propriété particulièrement souhaitable en premier lieu. Pourquoi en voulez-vous un ici?

Y

$Y$

Y

$Y$