Distribution de la somme des carrés des variables aléatoires distribuées en T


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Je regarde la distribution de la somme des carrés des variables aléatoires T-distribuées, avec l'exposant de queue α . Où X est le rv, la transformée de Fourier pour X2 , me donne une solution pour le carré avant la convolution . F ( t ) n F ( t ) = 0 exp ( iF(t)F(t)n

F(t)=0exp(itx2)((αα+x2)α+12α B(α2,12))dx

Avec , la solution est possible mais lourde et impossible à inverser pour faire un Fourier inverse pour . La question est donc la suivante: a-t-on travaillé sur la distribution de la variance d'échantillon ou de l'écart-type des variables aléatoires distribuées en T? (Ce serait à l'étudiantT ce que le chi carré est au gaussien). Je vous remercie.F ( t ) nα=3F(t)n

(Solution possible) J'ai compris que est distribué par Fisher , donc je vais regarder la somme des variables distribuées de Fisher. F ( 1 , α )X2F(1,α)

(Solution possible) A partir des caractéristiques des fonctions de la moyenne de additionné a les mêmes deux premiers moments d'un de distribution lorsque ceux - ci existent. Donc avec u la racine carrée et en faisant un changement de variable à l'intérieur d'une distribution de probabilité, la densité de l'écart type des variables T à n échantillons peut être approximée avec: X 2 F ( n , α ) g ( u ) = 2 α α / 2 n n / 2 u n - 1 ( α + n u 2 ) - αnX2F(n,α)

g(u)=2αα/2nn/2un1(α+nu2)α2n2B(n2,α2)

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F F ( 1 , α )T2 est distribué. La moyenne et la variance d'une somme de variables indépendantes distribuées sont facilement dérivées, mais la distribution n'est pas disponible sous forme fermée. Voir cette question pour quelques détails. Vous pouvez trouver le document lié utile. La fonction caractéristique est également donnée sur la page wikipedia du F. [La variance de l'échantillon des variables distribuées en t est une question assez différente.]FF(1,α)
Glen_b -Reinstate Monica

Réponses:


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n tαtα

tα

Titαtαi=1nTi2F(n,α)n

Ti2F(1,α)tZU/αZUαZV/1U/αV=Z2F(1,α)α

je=1nTje2nF(n,α)α>4limαnF(n,α)=χn2

tα

F(n,α)g(u)je=1n(Tje-T¯)2=je=1nTje2-nT¯2χ2tt

α=3F(1,α)


Merci Mark; en effet la convolution tombe en panne bien que les deux premiers moments soient préservés. Va essayer le chi carré et revenir.
Nero

J'ai reformulé ma question. Ou dois-je publier des modifications ailleurs sur la page?
Nero

Nero - les modifications apportées à votre question devraient apparaître dans la question. Vous pouvez toujours signaler comment la question a changé dans la question si cela aide (mais gardez à l'esprit que l'historique complet de l'édition de la question et des réponses est disponible si nécessaire).
Glen_b -Reinstate Monica

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