Les statistiques ne sont pas des mathématiques?

Est-ce que les statistiques sont mathématiques ou non?

Étant donné que ce sont tous des chiffres, principalement enseignés par les départements de mathématiques et que vous obtenez des crédits en mathématiques, je me demande si les gens ne le pensent pas à moitié en plaisantant quand ils le disent, comme dire que c'est une partie mineure des mathématiques ou simplement des mathématiques appliquées.

Je me demande si quelque chose comme les statistiques, où vous ne pouvez pas tout construire sur des axiomes de base, peut être considéré comme des mathématiques. Par exemple, la valeur , qui est un concept qui a été créé pour donner un sens aux données, mais ce n'est pas une conséquence logique de principes plus fondamentaux.$p$

Les mathématiques traitent des abstractions idéalisées qui (presque toujours) ont des solutions absolues, ou le fait qu'aucune solution de ce type n'existe peut généralement être décrit en détail. C'est la science de découvrir des conséquences complexes mais nécessaires à partir d'axiomes simples.

Les statistiques utilisent les mathématiques, mais ce ne sont pas les mathématiques. C'est une supposition éclairée. C'est le jeu.

La statistique ne traite pas des abstractions idéalisées (bien qu'elle en utilise certains comme outils), elle traite des phénomènes du monde réel. Les outils statistiques font souvent des hypothèses simplificatrices pour réduire les données du monde réel en désordre à quelque chose qui s'inscrit dans le domaine problématique d'une abstraction mathématique résolue. Cela nous permet de faire des suppositions éclairées, mais c'est vraiment tout ce que les statistiques sont: l'art de faire des suppositions très bien informées.

Envisagez de tester des hypothèses avec des valeurs de p. Disons que nous testons une hypothèse avec une signification , et après avoir recueilli des données, nous trouvons une valeur de p de 0,001 . Nous rejetons donc l'hypothèse nulle au profit d'une hypothèse alternative.$\alpha = 0.01$$0.001$

Mais quelle est vraiment cette valeur p? Quelle est la signification? Notre statistique de test a été développée de telle sorte qu'elle soit conforme à une distribution particulière, probablement le t de Student. Sous l'hypothèse nulle, le centile de notre statistique de test observée est la valeur p. En d'autres termes, la valeur de p donne la probabilité que nous obtenions une valeur aussi éloignée de l'attente de la distribution (ou plus) que la statistique de test observée. Le niveau de signification est une valeur limite assez arbitraire: le fixer à équivaut à dire, "c'est acceptable si 1 répétition sur 100 de cette expérience suggère que nous rejetons le null, même si le null est en fait vrai. "$0.01$

La valeur de p nous donne la probabilité que nous observions les données disponibles étant donné que le zéro est vrai (ou plutôt, devenant un peu plus technique, que nous observons des données sous l'hypothèse nulle qui nous donne une valeur au moins aussi extrême de la statistique testée comme celle que nous avons trouvée). Si nous allons rejeter le nul, nous voulons que cette probabilité soit petite, pour s'approcher de zéro. Dans notre exemple spécifique, nous avons constaté que la probabilité d'observer les données que nous avons recueillies si l'hypothèse nulle était vraie n'était que de , nous avons donc rejeté la valeur nulle. C'était une supposition éclairée. Nous ne savons jamais vraiment avec certitude que l'hypothèse nulle est fausse en utilisant ces méthodes, nous développons simplement une mesure de la force avec laquelle nos preuves soutiennent l'alternative.$0.1\%$

Avons-nous utilisé les mathématiques pour calculer la valeur de p? Sûr. Mais les mathématiques ne nous ont pas permis de conclure. Sur la base des preuves, nous avons formé une opinion éclairée, mais c'est toujours un pari. Nous avons constaté que ces outils étaient extrêmement efficaces au cours des 100 dernières années, mais les gens de l'avenir peuvent s'étonner avec horreur de la fragilité de nos méthodes.

Langue fermement dans la joue:

Einstein a apparemment écrit

Pour autant que les lois des mathématiques se réfèrent à la réalité, elles ne sont pas certaines; et pour autant qu'elles soient certaines, elles ne se réfèrent pas à la réalité.

donc la statistique est la branche des mathématiques qui décrit la réalité. ; o)

Je dirais que la statistique est une branche des mathématiques de la même manière que la logique est une branche des mathématiques. Cela inclut certainement un élément de philosophie, mais je ne pense pas que ce soit la seule branche des mathématiques où cela soit le cas (voir par exemple Morris Kline, "Mathematics - The Loss of Certainty", Oxford University Press, 1980).

Eh bien, si vous dites " quelque chose comme les statistiques, où vous ne pouvez pas tout construire sur des axiomes de base ", alors vous devriez probablement lire sur la théorie axiomatique de Kolmogorov de la probabilité. Kolmogorov définit la probabilité de manière abstraite et axiomatique comme vous pouvez le voir dans ce pdf à la page 42 ou ici au bas de la page 1 et des pages suivantes .

Juste pour vous donner un aperçu de ses définitions abstraites, il définit une variable aléatoire comme une fonction `` mesurable '' comme expliqué de manière plus `` intuitive '' ici: si une variable aléatoire est une fonction, alors comment définissons-nous une fonction d'un Variable aléatoire

Avec un nombre très limité d'axiomes et en utilisant les résultats de la théorie des mesures (encore une fois en mathématiques), il peut définir des concepts comme des variables aléatoires, des distributions, une probabilité conditionnelle, ... de manière abstraite et dériver tous les résultats bien connus comme la loi des grands nombres, ... à partir de cet ensemble d'axiomes. Je vous conseille de l'essayer et vous serez surpris de la beauté mathématique de celui-ci.

Pour une explication sur les valeurs p, je me réfère à: Une mauvaise compréhension d'une valeur p?

Je n'ai aucune base rigoureuse ou philosophique pour répondre à cette question, mais j'ai souvent entendu la plainte «les statistiques ne sont pas des mathématiques» de la part de personnes, généralement des types physiques. Je pense que les gens veulent des garanties de certitude à partir de leurs calculs, et les statistiques n'offrent (généralement) que des conclusions probabilistes avec des valeurs p associées. En fait, c'est exactement ce que j'aime dans les statistiques. Nous vivons dans un monde fondamentalement incertain et nous faisons de notre mieux pour le comprendre. Et nous faisons un excellent travail, tout bien considéré.

C'est peut-être parce que je suis un plébéien et que je n'ai pas suivi de cours de mathématiques avancés, mais je ne vois pas pourquoi les statistiques ne sont pas des mathématiques. Les arguments ici et sur une question en double semblent argumenter deux points principaux pour expliquer pourquoi les statistiques ne sont pas des mathématiques ^* .

1. Ce n'est pas exact / certain, et en tant que tel repose sur des hypothèses.
2. Il applique des mathématiques aux problèmes et chaque fois que vous appliquez des mathématiques, ce n'est plus des mathématiques.

N'est pas exact et utilise des hypothèses

Les hypothèses / approximations sont utiles pour beaucoup de mathématiques.

Je crois que les propriétés d'un triangle que j'ai appris à l'école primaire sont considérées comme de vrais mathématiques, même si elles ne sont pas vraies en géométrie non élucidienne. Il est donc clair qu'un aveu des limites, ou énoncé d'une autre manière "en supposant que XYZ ce qui suit est valide", à une branche des mathématiques ne disqualifie pas la branche d'être des "vraies" mathématiques.

Je suis certain que le calcul serait considéré comme une pure forme de calcul, mais les limites sont l'outil central sur lequel nous l'avons construit. Nous pouvons continuer à calculer jusqu'à la limite, tout comme nous pouvons continuer à agrandir une taille d'échantillon, mais aucun ne donne un aperçu accru au-delà d'un certain seuil.

Une fois que vous appliquez les mathématiques, ce ne sont pas des mathématiques

La contradiction évidente ici est que nous utilisons les mathématiques pour prouver des théorèmes mathématiques, et personne ne prétend que prouver des théorèmes mathématiques n'est pas des mathématiques.

La déclaration suivante pourrait être que ce thing xn'est pas des mathématiques si vous utilisez des mathématiques pour obtenir un résultat. Cela n'a aucun sens non plus.

La déclaration avec laquelle je suis d'accord est que lorsque vous utilisez les résultats d'un calcul pour prendre une décision, la décision n'est pas mathématique . Cela ne signifie pas que l'analyse menant à la décision n'est pas mathématique .

Je pense que lorsque nous utilisons l'analyse statistique, tous les calculs effectués sont de vrais calculs. Ce n'est qu'une fois que nous remettons les résultats à quelqu'un pour interprétation que les statistiques quittent les mathématiques. En tant que tels, les statistiques et les statisticiens font de vraies mathématiques et sont de vrais mathématiciens. C'est l'interprétation faite par l'entreprise et / ou la traduction des résultats à l'entreprise par le statisticien qui n'est pas mathématique.

D'après les commentaires:

Whuber a dit:

Si vous deviez remplacer «statistiques» par «chimie», «économie», «ingénierie» ou tout autre domaine qui emploie les mathématiques (comme l'économie domestique), il semble qu'aucun de vos arguments ne changerait.

Je pense que la principale différence entre "chimie", "ingénierie" et "équilibrer mon chéquier" est que ces domaines utilisent simplement des concepts mathématiques existants . Je crois comprendre que des statisticiens comme Guass ont élargi le corps des concepts mathématiques. Je crois ^{(cela peut être manifestement faux)} que pour obtenir un doctorat en statistique, vous devez contribuer, d'une certaine manière, à élargir le corps des concepts mathématiques. Les candidats au doctorat en chimie / ingénierie n'ont pas cette exigence à ma connaissance.

La distinction que les statistiques contribuent au corps des concepts mathématiques est ce qui la distingue des autres domaines qui utilisent simplement des concepts mathématiques .

*: L'exception notable est cette réponse qui déclare effectivement que les limites sont artificielles pour diverses raisons sociales. Je pense que c'est la seule vraie réponse, mais où est le plaisir là-dedans? ;)

Les tests statistiques, les modèles et les outils d'inférence sont formulés dans le langage des mathématiques, et les statisticiens ont mathématiquement prouvé des livres épais de résultats très importants et intéressants à leur sujet. Dans de nombreux cas, les preuves fournissent une preuve convaincante que les outils statistiques en question sont fiables et / ou puissants.

La statistique et sa communauté ne sont peut-être pas assez «pures» pour les mathématiciens d'un certain goût, mais elles sont définitivement investies dans les mathématiques extrêmement profondément, et la statistique théorique est tout autant une branche des mathématiques que la physique théorique ou l'informatique théorique.

La «différence» repose sur: le raisonnement inductif contre le raisonnement déductif contre l' inférence. Par exemple, aucun théorème mathématique ne peut dire quelle distribution ou priorité vous pouvez utiliser pour vos données / modèle.

Soit dit en passant, les statistiques bayésiennes sont une zone axiomatisée.

C'est peut-être une opinion très impopulaire, mais étant donné l'histoire et la formulation des concepts de la statistique (et de la théorie des probabilités), je considère la statistique comme une sous-branche de la physique .

En effet, Gauss a initialement formalisé le modèle de régression des moindres carrés dans les prévisions astronomiques. La majorité des contributions aux statistiques avant Fisher provenaient de physiciens (ou de mathématiciens hautement appliqués dont le travail serait appelé physique selon les normes d'aujourd'hui): Lyapunov, De Moivre, Gauss et un ou plusieurs Bernoullis.

Le principe primordial est la caractérisation des erreurs et des aléas apparents propagés à partir d'un nombre infini de sources de variation non mesurées. À mesure que les expériences devenaient plus difficiles à contrôler, les erreurs expérimentales devaient être formellement décrites et prises en compte pour calibrer la prépondérance des preuves expérimentales par rapport au modèle mathématique proposé. Plus tard, alors que la physique des particules se plongeait dans la physique quantique , la formalisation des particules sous forme de distributions aléatoires a donné un langage beaucoup plus concis pour décrire le caractère aléatoire apparemment incontrôlable des photons et des électrons.

Les propriétés des estimateurs telles que leur moyenne (centre de masse) et l'écart type (deuxième moment des écarts) sont très intuitives pour les physiciens. La majorité des théorèmes limites peuvent être vaguement connectés à la loi de Murphy, c'est-à-dire que la distribution normale limite est l'entropie maximale.

La statistique est donc une sous-branche de la physique.