Je veux montrer

Soit une variable aléatoire sur l'espace des probabilités Montrer que$X:\Omega \to \mathbb N$$(\Omega,\mathcal B,P)$

$$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$$

ma définition de est égale à $E(X)$

$$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$$

Merci.

La définition de pour discret est .$E(X)$$X$$E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

$$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$$

Alors

$$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$$

(nous réorganisons les termes dans la dernière expression)

$$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$$

qed

J'aime la réponse de janvier. Puis-je suggérer un moyen d'écrire la série pour que l'œil capte plus facilement le réarrangement (c'est ainsi que j'aime l'écrire sur le tableau noir)? (Le réarrangement est mathématiquement valable car il s'agit d'une série de termes positifs .)

$$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$$

Je pense que la façon standard de le faire est d'écrire

$$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$$

$$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$$

puis inverser l'ordre d'attente et la somme (par le théorème de Tonelli)

L'une des autres excellentes réponses ici (de seanv507 ) a noté que cette règle d'attente résulte en fait d'un résultat plus fort qui exprime la variable aléatoire sous-jacente comme une somme infinie de variables indicatrices. Il est possible de prouver un résultat plus général, et cela peut être utilisé pour obtenir la règle d'attente dans la question. Si (donc son support n'est pas plus large que les nombres naturels) alors on peut montrer (preuve ci-dessous) que:$X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$

$$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$$

Prendre donne alors le résultat utile:$m \rightarrow \infty$

$$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$$

Il convient de noter que ce résultat est plus fort que la règle de l'espérance dans la question, car il donne une décomposition pour la variable aléatoire sous-jacente, et pas seulement son moment. Comme indiqué dans l'autre réponse, prendre les attentes des deux côtés de cette équation et appliquer le théorème de Tonelli (pour permuter l'ordre des opérateurs de somme et d'attente) donne la règle d'attente dans la question. Il s'agit d'une règle d'attente standard utilisée pour les variables aléatoires non négatives.

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Le résultat ci-dessus peut être prouvé assez simplement. Commencez par observer que:

$$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$$

Pour tout nous avons donc:$m \in \mathbb{N}$

$$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$$