Problème de calcul de la distribution conjointe et marginale de deux distributions uniformes

Supposons que nous ayons une variable aléatoire distribuée comme et distribuée comme , où signifie une distribution uniforme dans l'intervalle . $X_1$ $U[0,1]$ $X_2$ $U[0,X_1]$ $U[a,b]$ $[a,b]$

J'ai pu calculer le pdf commun de et le pdf marginal de . $(X_1,X_2)$ $X_1$

p (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{x_{1}}, for 0 \leq x_{1} \leq 1, 0 \leq x_{2} \leq x_{1},

$p(x_1,x_2) = \frac{1}{x_1}, \text{ for }\quad 0\le x_1\le 1, \quad 0\le x_2 \le x_1,$

p (x_{1}) = 1, for 0 \leq x_{1} \leq 1.

$p(x_1)= 1, \text{ for } \quad 0\le x_1\le 1.$

Cependant, lors du calcul du pdf marginal de je rencontre un problème de limites. La résultante de l'intégrale au marginal de est et les limites sont de 0 à 1. Comme n'est pas défini pour , je suis confronté à une difficulté. $X_2$ $X_2$ $\log(X_1)$ $\log(X_1)$ $X_1=0$

Ai-je tort quelque part? Merci.

pdf marginal joint-distribution

— Andre Silva
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Par hasard, voulez-vous dire que X2 est distribué comme U [0, X1]?

— SheldonCooper

SheldonCopper: C'est exact. Je vais le changer.

Les limites pour le marginal de ne sont pas de 0 à 1 sauf lorsque .

X_{2}

$X_2$

X_{2} = 0

$X_2 = 0$

— whuber

Merci whuber. Vous avez raison. Nous devons donc remplacer les limites de la densité marginale de X2 par X1 = X2 par X1 = 1.

Réponses:

Dans l'intégrale de "marginalisation", la limite inférieure pour n'est pas mais (en raison de la condition ). $x_1$ $0$ $x_2$ $0<x_2<x_1$

Donc l'intégrale devrait être:

p (x_{2}) = \int p (x_{1}, x_{2}) d x_{1} = \int \frac{I (0 \leq x_{2} \leq x_{1} \leq 1)}{x_{1}} d x_{1} = \int_{x_{2}}^{1} \frac{d x_{1}}{x_{1}} = l o g (\frac{1}{x_{2}})

$p(x_2)=\int p(x_1,x_2) dx_1=\int \frac{I(0\leq x_2\leq x_1\leq 1)}{x_1} dx_1=\int_{x_2}^{1} \frac{dx_1}{x_1}=log\big(\frac{1}{x_2}\big)$

Vous êtes tombé sur ce que je pense être l'une des parties les plus difficiles des intégrales statistiques - déterminer les limites de l'intégration.

REMARQUE: Ceci est cohérent avec la réponse d'Henry, le mien est le PDF et le sien est le CDF. Différencier sa réponse vous donne la mienne, ce qui montre que nous avons tous les deux raison.

— probabilitéislogique
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Ouais, je l'ai compris avant que tu ne donnes la réponse :) ... Merci.

\log (1 / x_{2}) = - \log (x_{2})

$\log (1/x_2) = - \log (x_2)$ qui est ce que j'ai trouvé

— Henry

Vous ne devriez pas avoir dans la distribution marginale pour $X_1$ $X_2$

Je m'attendrais à ce que vous obteniez et donc la dérivée donne une densité marginale de . $P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$ $-\log(x_2)$

Cela vient de si , et si donc la l'intégrale est $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = 1$ $x_1 \le x_2$ $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = \frac{x_2}{x_1}$ $x_2 \le x_1$

P (X_{2} \leq x_{2}) = \int_{x_{1} = 0}^{x_{2}} d x_{1} + \int_{x_{1} = x_{2}}^{1} \frac{x_{2}}{x_{1}} d x_{1}

$P(X_2 \le x_2) = \int_{x_1=0}^{x_2} dx_1 + \int_{x_1=x_2}^{1} \frac{x_2}{x_1} dx_1$

= {[x_{1}]}_{x_{1} = 0}^{x_{1} = x_{2}} + {[x_{2} \log (x_{1})]}_{x_{1} = x_{2}}^{x_{1} = 1}

$= \left[ x_1 \right]_{x_1=0}^{x_1=x_2} + \left[x_2 \log(x_1)\right]_{x_1=x_2}^{x_1=1}$

= x_{2} - 0 + x_{2} \log (1) - x_{2} \log (x_{2})

$= x_2 - 0 +x_2 \log(1) - x_2 \log(x_2)$

= x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$= x_2 (1-\log(x_2))$

— Henri
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Henry: log (X1) est après avoir intégré (mais avant de remplacer les limites) le marginal de X2. Votre P (X2) est faux. Je crois que vous intégrez le journal (X1) que j'ai dit que nous obtenons après l'intégration elle-même.

@Harpreet: en testant avec R, il est clair pour moi que est correct pour . J'ai également développé les intégrales pour montrer comment cela est obtenu. Alors, quel pensez-vous est faux?

P (X_{2} \leq x_{2}) = x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$

0 < x_{2} < 1

$0 < x_2 < 1$

P (X_{2})

$P(X_2)$

— Henry

P (X2) = int (1 / X1).

Merci Henry. Mais je pense que ce que vous faites est correct, mais le marginal de X2 sera sans limites.

l n (X_{1})

$ln(X_1)$

X_{1} \leq 1

$X_1 \le 1$ donc , ce qui signifie qu'il ne peut pas s'agir d'une fonction de densité ou de distribution. Et je pense toujours que ne devrait pas apparaître dans la distribution marginale de . en.wikipedia.org/wiki/Marginal_distribution dit la même chose dans "La distribution des variables marginales (la distribution marginale) est obtenue en marginalisant la distribution des variables rejetées, et les variables rejetées sont censées avoir été marginalisées . "

\ln (x_{1}) \leq 0

$\ln(x_1) \le 0$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Henry