Attente du quotient des sommes des variables aléatoires IID (feuille de travail de l'Université de Cambridge)

Je me prépare pour un entretien qui nécessite une connaissance décente des probabilités de base (au moins pour passer l'entretien lui-même). Je travaille à travers la feuille ci-dessous de mes jours d'étudiant comme révision. Cela a surtout été assez simple, mais je suis complètement perplexe sur la question 12.

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

Toute aide serait appréciée.

Edit: la question est:

Supposons que sont des variables aléatoires positives indépendantes distribuées de manière identique avec et . Soit . Montrez que lorsque , et lorsque . $X_1, X_2, ...$ $\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$ $\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$ $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$ $m>=n$

En fait, dans le processus de saisie, j'ai résolu la deuxième partie.

Pour , $m>=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

et le numérateur et le dénominateur du rapport ci-dessus sont clairement indépendants, donc:

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

et nous obtenons le résultat souhaité.

Je suis toujours bloqué sur la première partie.

probability self-study random-variable

— Spy_Lord
source

Il est important que les postes soient autonomes. Veuillez le modifier pour inclure une version lisible de la question. Nous vous demandons également d'indiquer quelles approches vous avez essayées et quels progrès, le cas échéant, vous avez réalisés: sinon nous n'avons aucune base pour évaluer le niveau auquel écrire les réponses.

— whuber

Mis à jour comme demandé.

— Spy_Lord

Bon travail! Voici une suggestion pour la première partie: lorsque vous ajoutez copies identiques de ensemble, il semble que la somme aura une distribution dont l'attente est facile à calculer en utilisant uniquement l'hypothèse iid.

n

$n$

S_{m} / S_{n}

$S_m/S_n$

— whuber

J'apprécie votre offre de l'écrire; Je pense que ce serait un ajout utile à notre site.

— whuber

OK, je pense que l'étape que je pensais être juste au départ, puis décidée était fausse, est en fait OK! Essentiellement, lorsque vous arrivez au point où vous avez , cela, par la propriété iid, est identique à Pouvez-vous confirmer que ça va? Si c'est le cas, je vais le taper après la hâte.

E ((n X_{1}) / (X_{1} + . . . + X_{n}))

$\mathbb{E}((nX_1)/(X_1+. . . + X_n))$

E ((X_{1} + . . . + X_{n}) / (X_{1} + . . . + X_{n})) = 1

$\mathbb{E}((X_1 + ... + X_n)/(X_1+. . . + X_n)) = 1$

— Spy_Lord

Réponses:

Repérer pour ajouter copies identiques de est très intelligent! Mais certains d'entre nous ne sont pas si intelligents, c'est donc bien de pouvoir "reporter" la Grande Idée à un stade où il est plus évident de savoir quoi faire. Sans savoir par où commencer, il semble y avoir un certain nombre d'indices que la symétrie pourrait être vraiment importante (l'addition est symétrique et nous avons quelques sommations, et les variables iid ont la même attente, alors peut-être qu'elles peuvent être échangées ou renommées de manière utile). En fait, la partie "difficile" de cette question est de savoir comment gérer la division, l'opération qui n'est pas symétrique. Comment exploiter la symétrie de la sommation? De la linéarité de l'attente, nous avons: $n$ $S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Mais alors pour des raisons de symétrie, étant donné que sont iid et , tous les termes sur le côté droit sont les mêmes! Pourquoi? Changez les étiquettes de et pour . Deux termes dans la position de commutation du dénominateur, mais après réorganisation, il résume toujours à , tandis que le numérateur passe de à . Donc . Écrivons pour et puisqu'il y a tels termes nous avons . $X_i$ $m \le n$ $X_i$ $X_j$ $i, j \le n$ $S_n$ $X_i$ $X_j$ $\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$ $\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$ $1 \le i \le n$ $m$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

Il semble que produirait le résultat correct. Mais comment le prouver? Nous savons $k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Ce n'est qu'à ce stade qu'il m'est apparu que je devrais les ajouter ensemble, pour obtenir

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

Ce qui est bien avec cette méthode, c'est qu'elle préserve l'unité des deux parties de la question. La raison pour laquelle la symétrie est rompue, nécessitant un ajustement lorsque , est que les termes du côté droit après application de la linéarité de l'espérance seront de deux types, selon que le dans le numérateur se situe dans la somme dans le dénominateur. (Comme précédemment, je peux changer les étiquettes de et si les deux apparaissent dans le dénominateur car cela ne fait que réordonner la somme , ou si rien ne le fait, cela laisse clairement la somme inchangée, mais si on le fait et on ne le fait pas, alors un des termes dans le dénominateur change et il ne correspond plus à .) Pour nous avons $m>n$ $X_i$ $X_i$ $X_j$ $S_n$ $S_n$ $i \le n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ et pour nous avons , disons. Puisque nous avons des premiers termes et de ce dernier, $i>n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$ $n$ $m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

Ensuite, trouver est simple en utilisant l'indépendance de et pour : $r$ $S_n^{-1}$ $X_i$ $i>n$ $r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

Donc, la même "astuce" fonctionne pour les deux parties, elle implique simplement de traiter deux cas si . Je soupçonne que c'est la raison pour laquelle les deux parties de la question ont été données dans cet ordre. $m>n$

— Silverfish
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Une très belle exposition sur vos pensées à travers la question, et vous expliquez l'étape nk (ma réponse sorta dit simplement 'clairement égal'). À votre santé!

— Spy_Lord

Merci à whuber pour l'astuce de la première partie.

Considérons pour le cas $nS_m/S_n$ $m<=n$

Nous avons $\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

et par la propriété iid, cela est égal à:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

Par conséquent pour $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$

— Spy_Lord
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