Pouvons-nous rendre la distribution Irwin-Hall plus générale?

J'ai besoin de trouver une classe de distribution symétrique à faible kurtosis, qui comprend la distribution uniforme, triangulaire et normale gaussienne. La distribution Irwin Hall (somme uniforme standard) offre cette caractéristique, mais ne traite pas des ordres non entiers . Cependant, si, par exemple, vous résumez simplement indépendamment, par exemple 2 uniformes standard et un avec une plage plus petite comme vous obtiendrez en effet une version plus générale et plus fluide d'Irwin-Hall pour tout arbitraire. ordre (comme dans ce cas). Cependant, je me demande s'il est possible de trouver une formule fermée pratique pour le CDF? $N$ $[0,1]$ $[0,0.25]$ $N=2.25$

— user32038
source

"Doucement étendu" soulève des questions épineuses. Dans le fil de stats.stackexchange.com/questions/41467 , l'affiche observe que la fluidité de la distribution Irwin-Hall change brusquement d'une valeur (intégrale) de à la suivante. Cela suggère déjà que nous ne devrions pas nous attendre à ce qu'il y ait une forme fermée mathématiquement "agréable" qui soit paramétrée par des valeurs réelles de . De plus, il n'y a pas une telle formule fermée, même pour la distribution Irwin-Hall elle-même.

n

$n$

n

$n$

— whuber

Bonjour, j'ai fait des expériences d'échantillonnage détaillées et j'ai regardé des histogrammes d'une telle distribution Irwin-Hall généralisée. En effet, l'introduction de N non entier permet d'éviter les sauts de comportement! Par exemple, le kurtosis augmente en douceur avec un N de valeur réelle. Si ce n'était pas le cas, ce ne serait en effet pas agréable. Je pense qu'il devrait être possible d'étendre la formule de sommation Irwin-Hall pour le CDF d'une manière ou d'une autre.

— user32038

La sommation n'est pas une "formule fermée" au sens habituel du terme car le nombre de termes augmente sans limite lorsque varie. Il s'agit d'une distinction importante, car il existe de véritables formules fermées: la fonction caractéristique de la distribution Irwin-Hall,

n

$n$

{((\exp (i t) - 1) / (i t))}^{n},

$\left((\exp(it) - 1)/(it)\right)^n,$ existe pour les non-intégrales

n

$n$ et donc sa transformée de Fourier inverse répond à votre question - c'est-à-dire, si vous considérez que c'est une formule pratique fermée !

— whuber

Salut whuber! J'ai besoin d'une implémentation appropriée, par exemple en Pascal. Pour un N modéré (comme 20), la formule bien connue d'Irwin-Hall CDF ne pose aucun problème, mais je ne veux pas passer trop de temps de calcul, par exemple pour une intégration, une transformée de Fourier (inverse) ou autre. Bien sûr, l'approche de la transformée de Fourier est élégante, mais pas si précise, car je suis très intéressé par CDF (x) pour les "grands" x, donc la zone de queue compte pour moi!

— user32038

Bonjour, pourriez-vous nous décrire plus en détail comment vous passeriez de la transformation de Fourier du PDF au CDF ordinaire? (bien que je pense généralement que cette méthode a des problèmes d'oscillation dans les queues, par exemple en donnant un PDF négatif si nous essayons d'évaluer l'intégrale ...).

— user32038

Eh bien, ce n'est pas vraiment une réponse complète, je reviendrai plus tard pour terminer ...

Le livre de Brian Ripley La simulation stochastique a la formule pdf fermée comme exercice 3.1 page 92 et est donné ci-dessous: Une implémentation R de ceci est ci-dessous:

f (x) = \sum_{r = 0}^{⌊ x ⌋} (- 1)^{r} (\binom{n}{r}) (x - r)^{(n - 1)} / (n - 1)!

$f(x) = \sum_{r=0}^{\lfloor x \rfloor} (-1)^r \binom{n}{r} (x-r)^{(n-1)}/ (n-1)!$

makeIH  <-  function(n) Vectorize( function(x) {
                            if (x < 0) return(0.0)
                            if (x > n) return(0.0)
                            X  <-  floor(x)
                            r <- seq(from=0,  to=X)
                            s <-  (-1)^r * choose(n, r)*(x-r)^(n-1)/factorial(n-1)
                            sum(s)
                            } )

qui est utilisé de cette façon:

fun3  <-  makeIH(3)
 plot(fun3,from=0,to=3,n=1001)
 abline(v=1, col="red")
 abline(v=2, col="red")

et donne ce complot:

Le manque de douceur aux valeurs entières peut être vu, au moins avec une bonne vue .... $x=1, x=2$

(Je reviendrai pour terminer cela plus tard)

— kjetil b halvorsen
source

+1 Je serais intéressé de voir ce que cela représente, si vous en avez le temps. ... En passant, bien que je sache qu'il y a un manque de douceur ici (dans le sens où il y a des discontinuités dans la dérivée seconde), je ne peux pas dire que je la perçois vraiment comme non lisse (mon œil a tendance à dire "pas de plis, ça a l'air lisse"). Je suppose que si je montais sur des montagnes russes le long de cette courbe, je serais sûr de ressentir le changement.

— Glen_b -Reinstate Monica

Pour le moment hors du temps ... plus tard

— kjetil b halvorsen

Pour voir le manque de douceur, nous devrons probablement choisir les points de traçage pour inclure les nombres entiers ...

— kjetil b halvorsen