Quand la fonction de distribution binomiale est-elle supérieure / inférieure à sa fonction de distribution de Poisson limite?

Soit $B(n,p,r)$ la fonction de distribution binomiale (DF) avec les paramètres $n \in \mathbb N$ et $p \in (0,1)$ évalués à $r \in \{0,1,\ldots,n\}$ : et soit dénotons le Poisson DF avec le paramètre évalué à :

B (n, p, r) = \sum_{i = 0}^{r} (\binom{n}{i}) p^{i} (1 - p)^{n - i},

$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$

F (ν, r)

$F(\nu,r)$

a \in R^{+}

$a \in \mathbb R^+$

r \in {0, 1, 2, \dots}

$r \in \{0,1,2,\ldots\}$

F (a, r) = e^{- a} \sum_{i = 0}^{r} \frac{a^{i}}{i!} .

$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$

Considérons , et soit défini comme , où est une constante de l'ordre de . Puisque , la fonction converge vers pour tout , comme cela est bien connu. $p \rightarrow 0$ $n$ $\lceil a/p-d \rceil$ $d$ $1$ $np \rightarrow a$ $B(n,p,r)$ $F(a,r)$ $r$

Avec la définition ci-dessus pour $n$ , je suis intéressé à déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles

B (n, p, r) > F (a, r) \forall p \in (0, 1),

$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$ et de même ceux pour lesquels

B (n, p, r) < F (a, r) \forall p \in (0, 1) .

$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$ J'ai pu prouver que la première inégalité est valable pour

a

$a$ suffisamment inférieure à

r

$r$ ; plus précisément, pour

a

$a$ inférieure à une certaine limite

g (r)

$g(r)$ , avec

g (r) < r

$g(r)<r$ . De même, la seconde inégalité vaut pour

a

$a$ suffisamment supérieure à supérieure à une certaine borne

, avec

r

$r$ , soit pour

a

$a$

h (r)

$h(r)$

h (r) > r

$h(r)>r$ . (Les expressions des bornes

g (r)

$g(r)$ et

h (r)

$h(r)$ ne sont pas pertinents ici. Je fournirai les détails à toute personne intéressée.) Cependant, les résultats numériques suggèrent que ces inégalités tiennent des limites moins strictes, qui est, pour

a

$a$ plus proche de

r

$r$ que je peux prouver.

Donc, je voudrais savoir s'il existe un théorème ou un résultat qui établit dans quelles conditions chaque inégalité est valable (pour tout $p$ ); c'est-à-dire lorsque le DF binomial est garanti supérieur ou inférieur à son DF de Poisson limite. Si un tel théorème n'existe pas, toute idée ou pointeur dans la bonne direction serait apprécié.

Veuillez noter qu'une question similaire, formulée en termes de fonctions bêta et gamma incomplètes, a été publiée dans math.stackexchange.com mais n'a reçu aucune réponse.

— Luis Mendo
source

C'est une question intéressante, même si je pense qu'elle aiderait à clarifier certaines choses, en particulier quelles sont les "pièces mobiles" et lesquelles ne le sont pas. Il semble que vous vouliez une borne qui tienne uniformément en pour chaque fixe . Mais, quel est le rôle de ici? Cela ne devrait pas beaucoup d'importance, mais son introduction est-elle nécessaire? Une approche pourrait être de regarder les choses en termes de temps d'attente d'un processus de Poisson et de les coupler aux temps d'attente géométriques associés (en prenant le plafond de chacun) pour votre variable aléatoire binomiale. Mais cela pourrait ne pas donner l' uniforme que vous recherchez.

p

$p$

r

$r$

d

$d$

— Cardinal

@cardinal Merci d'avoir pris le temps. Oui, je veux que la limite soit uniforme à la p. Tous les autres paramètres sont fixes (mais sélectionnables).

n'est qu'un de ces paramètres libres. Par exemple, un résultat hypothétique pourrait être le suivant: "Pour tout

naturel supérieur à

et tout

, la première inégalité vaut pour tout

d

$d$

r

$r$

2

$2$

d \in (- 1, 1)

$d \in (-1,1)$

et pour tout

; et le second est valable pour tout

a < r - \sqrt{r}

$a < r - \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

et pour tout

a > r + \sqrt{r}

$a > r + \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— Luis Mendo

Il existe une théorie de stein chen qui estime les erreurs lorsque vous utilisez poisson rv pour estimer la somme des variables bernoulli indépendantes non nécessaires. Pas sûr de votre question thoufh.

— Lost1

Pour

fini , la distribution binomiale a un support fermé par le haut. Sa taille peut être sélectionnable (en choisissant

) mais elle est fermée. D'un autre côté, la distribution de Poisson a un support illimité. Puisque nous regardons les CDF, pour tout

fini, nous aurons toujours

pour toutes les valeurs autorisées de

. Ainsi, les conditions de la 2ème inégalité après le PO incluront toujours au moins "pour

n

$n$

n

$n$

n

$n$

B (n, p, r = n) = 1 > F (a, n)

$B(n,p,r=n) = 1 > F(a,n)$

p, a

$p,a$

... "

r < n

$r<n$

— Alecos Papadopoulos

Voir la réponse de Did ici: math.stackexchange.com/questions/37018/…

— Alex R.

En ce qui concerne les éléments suivants:

la moyenne d'une dist binomiale est $np$
la variance est $np(1-p)$
la moyenne d'une dist de Poisson est , que nous pouvons imaginer comme $\lambda$ $n\times p$
la variance d'un Poisson est la même que la moyenne

Maintenant, si un Poisson est la limite d'un binôme avec les paramètres et , tels que augmente à l'infini et diminue à zéro tandis que leur produit reste constant, alors en supposant que et ne convergent pas vers leurs limites respectives, l'expression est toujours supérieur à , donc la variance de Binomial est inférieure à celle de Poisson. Cela impliquerait que le binôme est en dessous dans les queues et au-dessus ailleurs. $n$ $p$ $n$ $p$ $n$ $p$ $np$ $np(1-p)$

— Germaniawerks
source

Nous vous remercions de votre contribution. Il me semble cependant qu'il ne répond pas à la question, car (1) l'OP s'intéresse au CDF, pas au PDF. (2) Il demande une réponse quantitative.

— whuber