Exemple d'inégalité stricte de Neumann

Soit le risque bayésien d'un estimateur par rapport à un antérieur , soit le jeu de tous les a priori sur l'espace des paramètres , et soit le jeu de toutes les règles de décision (éventuellement randomisées).$r(\pi, \delta)$$\delta$$\pi$$\Pi$$\Theta$$\Delta$

L'interprétation statistique de l'inégalité minimax de John von Neumann indique que

$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$$

avec une stricte égalité garantie pour certains $\delta'$ et $\pi'$ quand $\Theta$ et $\Delta$ sont tous deux finis.

Quelqu'un peut-il donner un exemple concret où l' inégalité est stricte?

Un exemple d'inégalité stricte de von Neumann se produit lorsque la fonction de risque satisfait les conditions suivantes pour certaines valeurs (où la première valeur est "faible" et la seconde est "élevée"):$r$$r_0 < r_1$

$$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$$

La première condition dit que, quelle que soit la précédente, il existe toujours une règle de décision à faible risque , qui donne . La deuxième condition dit que, quelle que soit la règle de décision, il y a toujours un certain risque antérieur donnant , ce qui donne .$r_0$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$$r_1$$\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

Une autre façon d'affirmer cette situation est qu'il n'y a pas de règle de décision (choisie avant de voir le prieur) qui garantit un risque faible pour chaque préalable (parfois il aura un risque élevé), mais pour chaque préalable, il existe une règle de décision (choisie après avoir vu le précédent) qui garantit un faible risque. En d'autres termes, afin d'imposer une limite basse au risque, nous devons adapter notre règle de décision à la précédente .

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Exemple: Un exemple simple de ce type de situation se produit lorsque vous avez une paire de prieurs autorisés et une paire de règles de décision autorisées avec une matrice de risque comme celle-ci:$\pi_0, \pi_1$$\delta_0, \delta_1$

$$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$$

Dans ce cas, il n'y a pas de règle de décision qui garantit un faible risque sur les deux prieurs, mais pour chaque précédent, il existe une règle de décision qui présente un faible risque. Cette situation satisfait aux conditions ci-dessus, ce qui donne une stricte inégalité dans l'inégalité de von Neumann.