Asymétrie / kurtosis mobile pondéré exponentiel


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Il existe des formules en ligne bien connues pour calculer des moyennes mobiles pondérées exponentiellement et des écarts-types d'un processus . Pour la moyenne,(xn)n=0,1,2,

μn=(1α)μn1+αxn

et pour la variance

σn2=(1α)σn12+α(xnμn1)(xnμn)

à partir de laquelle vous pouvez calculer l'écart type.

Existe-t-il des formules similaires pour le calcul en ligne des troisième et quatrième moments centraux exponentiels? Mon intuition est qu'ils devraient prendre la forme

M3,n=(1α)M3,n1+αf(xn,μn,μn1,Sn,Sn1)

et

M4,n=(1α)M4,n1+αf(xn,μn,μn1,Sn,Sn1,M3,n,M3,n1)

à partir duquel vous pouvez calculer l'asymétrie et le kurtosis mais je n'ai pas été en mesure de trouver simple, fermé- expression de forme pour les fonctions f et g . k n = M 4 , n / σ 4 n f gγn=M3,n/σn3kn=M4,n/σn4fg


Edit: Quelques informations supplémentaires. La formule de mise à jour de la variance mobile est un cas particulier de la formule de la covariance mobile pondérée exponentielle, qui peut être calculée via

Cn(x,y)=(1α)Cn1(x,y)+α(xnx¯n)(yny¯n1)

x¯n et y¯n sont les moyennes exponentielles de déplacement de x et y . L'asymétrie entre x et y est illusoire et disparaît lorsque vous remarquez que yy¯n=(1α)(yy¯n1) .

Des formules comme celle-ci peuvent être calculées en écrivant le moment central comme une attente , où les poids dans l'attente sont compris comme exponentiels, et en utilisant le fait que pour toute fonction nous avonsf ( x )En()f(x)

En(f(x))=αf(xn)+(1α)En1(f(x))

Il est facile de dériver les formules de mise à jour de la moyenne et de la variance en utilisant cette relation, mais cela s'avère plus difficile pour les troisième et quatrième moments centraux.

Réponses:


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Les formules sont simples mais elles ne sont pas aussi simples que suggérées dans la question.

Que soit la précédente EWMA et laisser , qui est présumée indépendante de . Par définition , la nouvelle moyenne pondérée est pour une valeur constante . Pour plus de commodité, définissez . Soit le CDF d'une variable aléatoire et sa fonction de génération de moment , de sorte queX = x n YYX=xnYα β = 1 - α F ϕZ=αX+(1α)Yαβ=1αFϕ

ϕX(t)=EF[exp(tX)]=Rexp(tx)dFX(x).

Avec Kendall et Stuart , notons le moment non central d'ordre pour la variable aléatoire ; c'est-à-dire, . L' asymétrie et le kurtosis sont exprimables en termes de pour ; par exemple, l'asymétrie est définie comme oùkZμμk(Z)kZμk(Z)=E[Zk]μkk=1,2,3,4μ3/μ23/2

μ3=μ33μ2μ1+2μ13 and μ2=μ2μ12

sont respectivement les troisième et deuxième moments centraux.

Par résultats élémentaires standard,

1+μ1(Z)t+12!μ2(Z)t2+13!μ3(Z)t3+14!μ4(Z)t4+O(t5)=ϕZ(t)=ϕαX(t)ϕβY(t)=ϕX(αt)ϕY(βt)=(1+μ1(X)αt+12!μ2(X)α2t2+)(1+μ1(Y)βt+12!μ2(Y)β2t2+).

Pour obtenir les moments non centraux souhaités, multipliez cette dernière série de puissances par le quatrième ordre en et assimilez le résultat terme par terme aux termes en .tϕZ(t)


J'ai un problème de visualisation de formule, peut-être chaque fois qu'un 'est utilisé, avec IE et Firefox, pourriez-vous vérifier? Merci!
Quartz

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@Quartz Merci pour l'avertissement. Cela s'affichait correctement, il est donc évident qu'il y a eu des changements dans le traitement du balisage . J'ai trouvé une solution de contournement en mettant toutes les guillemets simples entre accolades. (Ce changement a probablement cassé quelques dizaines de messages sur ce site.)TEX
whuber

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Je pense que la formule de mise à jour suivante fonctionne pour le troisième moment, bien que je serais ravie que quelqu'un la vérifie:

- μ n - 1M3,n=(1-α)M3,n-1+α[Xn(Xn-μn)(Xn-2μn)-Xnμn-1(μn-1-2μn)- μn1(μnμn1)23(xnμn)σn12]

Mise à jour de la formule du kurtosis toujours ouverte ...


Pourquoi le ... dans la formule ci-dessus?
Chris

Poursuite de la ligne.
Chris Taylor

Votre équation s'est-elle révélée correcte? J'ai posé une question similaire dans R. stats.stackexchange.com/q/234460/70282
Chris

Avez-vous expliqué la division par N au troisième moment? L'asymétrie est le rapport du 3ème moment et de l'écart-type ^ 3 comme ceci: Skew = m3 / sqrt (variance) ^ 3 Le troisième moment est défini comme: m3 = sum ((x-mean) ^ 3) / n
Chris
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