Estimateur du maximum de vraisemblance - intervalle de confiance

Comment puis-je construire un intervalle de confiance asymptotique pour un paramètre réel, à partir du MLE pour ce paramètre?

— Fabrizio
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Une façon d'aborder ce problème est d'utiliser la méthode delta: en.wikipedia.org/wiki/Delta_method

J'ai remarqué qu'il y a des votes pour clore cette question comme trop large, mais il y a un théorème général sur le comportement asymptotique des MLE qui peut être résumé succinctement. J'ai mis une réponse concise que je développerai un peu plus tard.

— Scortchi - Réintégrer Monica

Utilisez le fait que pour un échantillon iid de taille , étant donné certaines conditions de régularité, le MLE est un estimateur cohérent du vrai paramètre , et de sa distribution asymptotiquement normale, avec une variance déterminée par l'inverse de la Informations sur le pêcheur: $n$ $\hat{\theta}$ $\theta_0$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to N (0, \frac{1}{I_{1} (θ_{0})})

$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}-\theta_0\right) \rightarrow \mathcal{N}\left(0,\frac{1}{\mathcal{I}_1(\theta_0)}\right)$ où est l'information Fisher d'un seul échantillon. Les informations observées au MLE tendent asymptotiquement aux informations attendues, vous pouvez donc calculer (disons 95%) des intervalles de confiance avec

I_{1} (θ_{0})

$\mathcal{I}_1(\theta_0)$

I (\hat{θ})

$I(\hat{\theta})$

\hat{θ} \pm \frac{1.96}{\sqrt{n I_{1} (\hat{θ})}}

$\hat{\theta} \pm \frac{1.96}{\sqrt{nI_1\left(\hat\theta\right)}}$

Par exemple, si est une variable de Poisson tronquée, vous pouvez obtenir une formule pour les informations observées en termes de MLE (que vous devez calculer numériquement): $X$

f (x) = \frac{e^{- θ} θ^{x}}{x! (1 - e^{- θ})}

$\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\newcommand{\d}{\operatorname{d}}f(x) = \frac{\e^{-\theta}\theta^x}{x!(1-e^{-\theta})}$

ℓ (θ) = - θ + x \log θ - \log (1 - e^{- θ})

$\ell(\theta)=-\theta+ x\log\theta -\log(1-\e^{-\theta})$

\frac{d ℓ (θ)}{d θ} = - 1 + \frac{x}{θ} - \frac{e^{- θ}}{1 - e^{- θ}}

$\frac{\d\ell(\theta)}{\d\theta} = -1 +\frac{x}{\theta} - \frac{\e^{-\theta}}{1-\e^{-\theta}}$

I_{1} (\hat{θ}) = - \frac{d^{2} ℓ (\hat{θ})}{{(d \hat{θ})}^{2}} = \frac{x}{\hat{θ}} - \frac{e^{- \hat{θ}}}{{(1 - e^{- \hat{θ}})}^{2}}

$I_1\left(\hat{\theta}\right)=-\frac{\d^2\ell\left(\hat\theta\right)}{\left(\d\hat\theta\right)^2} = \frac{x}{\hat\theta} - \frac{\e^{-\hat\theta}}{\left(1-\e^{-\hat{\theta}}\right)^2}$

Les cas notables exclus par les conditions de régularité comprennent ceux où

le paramètre détermine le support des données, par exemple l'échantillonnage à partir d'une distribution uniforme entre rien et $\theta$ $\theta$
le nombre de paramètres de nuisance augmente avec la taille de l'échantillon

— Scortchi - Réintégrer Monica
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Cette méthode s'applique-t-elle sans modification lorsqu'il existe des contraintes sur , par exemple ? Qu'en est-il d'un MLE pour paramètres , tels que et ?

θ

$\theta$

θ \in [0, 1]

$\theta \in [0, 1]$

N

$N$

θ_{i}

$\theta_i$

i = 0, . . ., N - 1

$i=0,...,N-1$

\sum_{i = 0}^{N - 1} θ_{i} = 1

$\sum_{i=0}^{N-1} \theta_i = 1$

θ_{i} \in [0, 1]

$\theta_i \in [0,1]$

— quant_dev

Si , c'est-à-dire que la vraie valeur n'est pas égale à l'une des bornes.

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0, 1)$

— Scortchi - Réintégrer Monica

Si et, cela ne signifierait-il pas que l'approximation normale n'est pas applicable et j'ai besoin de plus d'échantillons?

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0,1)$

σ (\hat{θ}) > | \hat{θ} |

$\sigma(\hat{\theta}) > |\hat{\theta}|$

— quant_dev

Oui, ce n'est qu'un intervalle de confiance asymptotique.

— Scortchi - Réintégrer Monica

@quant_dev: Non: vous chercheriez une transformation du ou des paramètres qui ont rendu l'approximation normale décente - ou utiliser une autre méthode.

— Scortchi - Réintégrer Monica