Existe-t-il une loi qui dit que si vous faites suffisamment de procès, des choses rares se produisent?

16

J'essaie de faire une vidéo sur les dés chargés, et à un moment donné dans la vidéo, nous lançons environ 200 dés, prenons tous les six, relancez-les, prenez tous les six et lancez-les une troisième fois. Nous avons eu un dé qui est venu 6 trois fois de suite, ce qui n'est évidemment pas inhabituel car il devrait y avoir une 1/216 chance que cela se produise et nous avions environ 200 dés. Alors comment expliquer que ce n'est pas inhabituel? Cela ne ressemble pas tout à fait à la loi des grands nombres. Je veux dire quelque chose comme "Si vous faites suffisamment de tests, même des choses improbables sont susceptibles de se produire", mais mon partenaire a dit que les gens pourraient contester la terminologie "lié à".

Existe-t-il un moyen standard de formuler ce concept?

probability dice law-of-large-numbers

— Cassandra Gelvin
source

7

en.wikipedia.org/wiki/Infinite_monkey_theorem

— James

La probabilité p = 1 / n signifie essentiellement que vous avez 1 succès par n tirals. C'est ce que cela signifie et c'est ainsi que cela est vérifié. Si vous ne voyez pas 1 succès par n expériences, vous nous signalez une mauvaise probabilité. Maintenant, vous dites que n est grand. Mais quelle est la différence lorsque vous dites également que vous pouvez faire beaucoup plus d'expériences que n? Je veux dire que vous n'avez pas besoin d'autre loi que la définition de la probabilité. Je suis plus intéressé à savoir pourquoi la probabilité de succès dans n essais n'est pas 1?

— Val

3

@Val Vos commentaires doivent être lus de manière particulière afin de ne pas être mal compris! Lorsque la probabilité d'un événement est de

, il est en fait probable que l'événement ne sera pas observé dans

essais indépendants. (La probabilité de ne pas l'observer est proche de

pour les grands

). Vous semblez donc avoir tort sur votre affirmation concernant la vérification des probabilités rares. Je pense que vous vous trompez en confondant les probabilités avec les fréquences: elles diffèrent définitivement, tant sur le plan conceptuel que pratique.

1 / n

$1/n$

n

$n$

1 / e \approx 0.37

$1/e\approx 0.37$

n

$n$

— blanc

Mon succès = votre observation. Je ne comprends pas pourquoi vous avez commencé à réinterpréter cette déclaration claire et précise et à tout redéfinir. Deuxièmement, bien que j'ai toujours cru que la probabilité est quelque chose de théorique (calculé de manière combinatoire dans la théorie des probabilités) alors que la fréquence est sa confirmation statistique (c'est-à-dire expérimentale), la loi des grands nombres dit que la fréquence converge vers la probabilité de probabilité dans un grand nombre d'expériences et je ne vois pas raison de souligner la différence, du moins dans ce cas.

— Val

1

Je ne comprends pas vos deux derniers commentaires. J'interprète les mots que vous utilisez selon ce que je pense être des moyens standard. Je souligne en particulier le fait que la probabilité n'est pas la même chose qu'une fréquence observée, ce que semble dire votre première phrase. Lorsqu'une probabilité est

, soit dit en passant, alors

n'est en aucun cas un "grand nombre d'expériences": il y aura de grands écarts entre les fréquences observées et les probabilités sous-jacentes. Cela n'est lié à aucune considération de valeurs en double.

1 / n

$1/n$

n

$n$

— whuber

17

Loi des nombres vraiment grands:

http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_truly_large_numbers

"avec un échantillon suffisamment grand, toute chose scandaleuse est susceptible de se produire."

— Emilio M Bumachar
source

Je pense qu'il est assez évident que c'est la meilleure réponse ici, lol.

— Phillip Schmidt

2

Il s'agit de la version temporelle du principe totalitaire .

— Ray Koopman

12

Vous pourriez expliquer que même si un événement a été spécifié a priori , la probabilité qu'il se produise n'est pas faible. En effet, il n'est pas si difficile de calculer la probabilité de 3 ou plusieurs jets de six d'affilée pour au moins un dé sur 200.

[Soit dit en passant, il y a un bon calcul approximatif que vous pouvez utiliser - si vous avez essais, il y a une probabilité de de «succès» (pour pas trop petit), la chance d'au moins un «succès» est d'environ . Plus généralement, pour essais, la probabilité est d'environ . Dans votre cas, vous regardez essais pour une probabilité de où et $n$ $1/n$ $n$ $1-1/e$ $kn$ $1-e^{-k}$ $m = kn$ $1/n$ $n=216$ , donc $m=200$ ,donne une probabilité de 60% que vous voyez 3 six dans une rangée au moins une fois sur les 200 séries de 3 rouleaux. $k = 200/216$

Je ne sais pas si ce calcul spécifique a un nom particulier, mais le domaine général des événements rares avec de nombreux essais est lié à la distribution de Poisson. En effet, la distribution de Poisson elle-même est parfois appelée « la loi des événements rares », et parfois même « la loi des petits nombres » (avec «loi» dans ces cas-là «distribution de probabilité»).]

-

Cependant, si vous n'avez pas spécifié cet événement particulier avant le roulement et que vous dites seulement par la suite « Hé, wow, quelles sont les chances de cela? », alors votre calcul de probabilité est faux, car il ignore tous les autres événements au sujet desquels vous diriez« Hé, wow, quelles sont les chances de cela?'.

Vous n'avez spécifié l'événement qu'après l'avoir observé, pour lequel 1/216 ne s'applique pas, même avec un seul dé.

Imaginez que j'ai une brouette pleine de petits dés, mais reconnaissables (peut-être qu'ils ont de petits numéros de série) - disons que j'en ai dix mille. Je lance la brouette pleine de dés:

die #    result
00001      4
00002      1
00003      5
 .         .
 .         .
 .         .
09999      6
10000      6

... et je dis "Hé! Wow , quelles sont les chances que j'obtienne" 4 "sur le dé # 1 et" 1 "sur le dé # 2 et ... et" 6 "sur le dé # 999 et" 6 " au dé # 10000? "

Cette probabilité est de $\frac{1}{6}^{10000}$ $3.07\times 10^{-7782}$

Simplement, je ne fais rien d'autre que d'essayer de calculer la probabilité d'un événement spécifié après coup comme s'il avait été spécifié a priori . Si vous faites cela, vous obtenez des réponses folles.

— Glen_b -Reinstate Monica
source

15

Tu sais, la chose la plus étonnante m'est arrivée ce soir. Je venais ici, sur le chemin de la conférence, et je suis entré par le parking. Et vous ne croirez pas ce qui s'est passé. J'ai vu une voiture avec la plaque d'immatriculation ARW 357. Pouvez-vous imaginer? De tous les millions de plaques d'immatriculation en l'état, quelle était la chance que je verrais celle-ci en particulier ce soir? Incroyable! - Richard Feynman .

— gerrit

Ce n'est pas ce que le PO demande. Cela ressemble plus au «principe antrophique» (existe-t-il un terme plus générique pour cela?) Tandis que le terme demandé par le PO ressemble davantage à la «loi des nombres vraiment grands»?

— Lie Ryan

3

@LieRyan Si la question du PO contient une erreur de raisonnement implicite, à laquelle un calcul de probabilité ordinaire ne devrait pas être appliqué, il serait erroné de ne pas le signaler clairement. En effet, même s'il existe une bonne possibilité que ce problème existe, il doit être clairement souligné. Étant donné que rien n'indiquait que l'événement avait en fait été spécifié avant l'observation, il convient de le signaler. Les détails requis pour expliquer exactement pourquoi il s'agit d'un problème prennent plus de quelques phrases. Je réponds à la question directe de mon premier paragraphe, mais j'explique ensuite pourquoi il y a un problème.

— Glen_b -Reinstate Monica

1

Pour plus de précision, c'était a priori.

— Cassandra Gelvin

3

Je pense que votre déclaration "Si vous faites suffisamment de tests, même des choses improbables sont susceptibles de se produire", serait mieux exprimée comme "Si vous faites suffisamment de tests, même des choses improbables sont susceptibles de se produire". "lié à arriver" est un peu trop défini pour un problème de probabilité et je pense que l'association de peu probable avec probable dans ce contexte fait le point que vous essayez de mettre sur.

— Robert Jones
source

Je ne suis pas d'accord, "inévitable" est correct. À moins que les dés ne soient truqués pour éviter l'événement improbable, cela se produira. Si cela ne se produit pas, alors vous n'avez tout simplement pas fait assez d'essais, que ce soit que ce ne sont pas des "choses improbables" mais des "choses impossibles".

— Lie Ryan

Technically speaking, an event is only "bound to happen" if you try an infinite number of times; it's an asymptote. Probability has no memory; in theory I could flip a fair coin every second from now until the heat-death of the universe and only get heads. Taken as a whole, that's a very unlikely event, but each flip is still a 50/50 chance, so at no point does it become certain that I'll get tails. Likewise, even with a huge number of trials, that unlikely event is still just as unlikely for any given single trial - it might never happen.

— anaximander

1

Of course, that assumes that you know the probabilities of your events. In the real world, after a certain number of trials you have to point out that your calculations give you a 99.999% chance of seeing the unlikely event at least once by now, and you still haven't seen it, so perhaps it's less likely than you thought (or maybe even impossible).

— anaximander

@Anaximander A subtler interpretation of "bound to happen" that makes it a correct assertion about unlikely events is this: for all

0 \leq q < 1

$0\le q\lt 1$ there exists an

n

$n$ for which the probability of the event occurring in

n

$n$ or more independent observations is at least

q

$q$ . This definition does not need to drag in some undefined or vague sense of "infinite number." In this sense any event of strictly positive probability

ε

$\varepsilon$ is bound to happen eventually: for the proof, just take

n > \log (1 - q) / \log (1 - ε)

$n \gt \log(1-q)/\log(1-\varepsilon)$ and do the (elementary) calculation.

— whuber

1

I think what you need is a zero-one law. The most famous of these is the Kolmogorov Zero-One Law, which states that any event in the event space we're interested in will either eventually occur with probability 1 or never occur with probability 1. That is to say, there is no grey area of events that may happen.

— owensmartin
source

1

I believe Kolmogorov's law applies only to tail events, not to "any event ... we're interested in." You might be able to apply this law to general events to shed light on the question, but some explanation of how to do that would be helpful here.

— whuber

This is a good comment: I think the precise definition of tail event is exactly what we're looking for to solve this. I'll do some research on it.

— owensmartin