Qu'est-ce qu'un processus stationnaire de second ordre?

Je me demandais comment son "processus stationnaire de second ordre" est défini dans l' introduction de Brockwell et Davis aux séries chronologiques et aux prévisions :

La classe des modèles de séries chronologiques linéaires, qui comprend la classe des modèles autorégressifs à moyenne mobile (ARMA), fournit un cadre général pour l'étude des processus stationnaires. En fait, chaque processus stationnaire du second ordre est soit un processus linéaire, soit peut être transformé en un processus linéaire en soustrayant une composante déterministe. Ce résultat est connu sous le nom de décomposition de Wold et est discuté dans la section 2.6.

Dans Wikipedia ,

Le cas de la stationnarité de second ordre se présente lorsque les exigences d'une stationnarité stricte ne s'appliquent qu'aux paires de variables aléatoires de la série chronologique.

Mais je pense que le livre a une définition différente de Wikipédia, car le livre utilise la stationnarité courte pour la stationnarité au sens large, tandis que Wikipedia utilise la stationnarité courte pour la stationnarité stricte.

Merci et salutations!

Il peut y avoir une certaine confusion de termes selon que l'ordre adjectif seond est considéré comme modifiant un processus stationnaire ou aléatoire (ou les deux!). Pour certaines personnes,

• Un second ordre processus aléatoire est celle pour laquelle est finie ( en effet délimité) pour tout . Pour nous ingénieurs électriciens qui appliquons (ou appliquons mal!) Des modèles de processus aléatoires dans l'étude des signaux électriques, est une mesure de la puissance moyenne délivrée au temps par un signal stochastique, et donc tous les signaux physiquement observables sont modélisé comme processus de second ordre. Notez que la stationnarité n'a pas du tout été mentionnée et ces processus de second ordre peuvent ou non être stationnaires.$\{X_t \colon t \in \mathbb T\}$$E[X_t^2]$$t \in \mathbb T$$E[X_t^2]$$t$

• Un processus aléatoire qui est stationnaire à l'ordre , que nous pouvons (mais ne devrions peut-être pas) appeler un processus aléatoire stationnaire de second ordre à condition que nous convenions que le second ordre modifie le processus stationnaire et non aléatoire , est celui pour lequel est un ensemble de nombres réels qui est fermé sous addition, et la distribution conjointe des variables aléatoires et (où dépend de mais pas de . Comme le montre le lien fourni par AO, un processus aléatoire stationnaire à l'ordre$2$$\mathbb T$$X_t$$X_{t+\tau}$$t, \tau \in \mathbb T)$$\tau$$t$$2$n'a pas besoin d'être strictement stationnaire. Un tel processus n'est pas non plus nécessairement au sens large stationnaire car il n'y a aucune garantie que est fini: considérons par exemple un processus strictement stationnaire dans lequel les sont des variables aléatoires de Cauchy indépendantes.$E[X_t^2]$$X_t$

• Un processus aléatoire de second ordre (signifiant puissance finie comme dans le premier élément ci-dessus) qui est stationnaire à au moins l' ordre est stationnaire au sens large.$2$

OK, c'est donc la perspective d'un ensemble différent d'utilisateurs de la théorie des processus aléatoires. Pour plus de détails, voir, par exemple, ma réponse sur dsp.SE.

Le deuxième ordre stationnaire est un stationnaire faible ou stationnaire de covariance. Voir l'extrait suivant de Time Series Analysis, J. Hamilton (1994) p. 108

Je suppose que c'est la même chose que "faiblement stationnaire". Cela signifie que tous (pour tout et tout ont la même matrice d'attente et de covariance mais pas nécessairement la même distribution.k l $(x_k,\dots,x_{k-l})$$k$$l)$