Rendre positif-défini la racine carrée de la matrice de covariance (Matlab)

Motivation : j'écris un estimateur d'état dans MATLAB (le filtre de Kalman non parfumé), qui appelle à la mise à jour de la racine carrée (triangulaire supérieure) d'une matrice de covariance à chaque itération (c'est-à-dire pour une matrice de covariance , il est vrai que ). Pour que je puisse effectuer les calculs requis, je dois faire une mise à jour et une mise à jour Cholesky de rang 1 à l'aide de la fonction MATLAB .$S$$P$$P=SS^{T}$cholupdate

Problème : Malheureusement, au cours des itérations, cette matrice peut parfois perdre en précision positive. La mise à jour de Cholesky échoue sur les matrices non PD.$S$

Ma question est : existe-t-il des moyens simples et fiables dans MATLAB pour rendre positif-défini?$S$

( ou plus généralement, existe-t-il un bon moyen de rendre positive une matrice de covariance donnée ?$X$ )

Remarques :

• $S$ est le rang complet
• J'ai essayé l'approche eigendecomposition (qui n'a pas fonctionné). Cela impliquait essentiellement de trouver , de définir tous les éléments négatifs de , et de reconstruire un nouveau où sont des matrices avec uniquement des éléments positifs.$S = VDV^{T}$$V,D = 1 \times 10^{-8}$$S' = V' D' V'^{T}$$V',D'$
• Je connais l'approche Higham (qui est implémentée dans R as nearpd), mais elle ne semble se projeter que vers la matrice PSD la plus proche. J'ai besoin d'une matrice PD pour la mise à jour Cholesky.

Voici le code que j'ai utilisé dans le passé (en utilisant l'approche SVD). Je sais que vous avez dit que vous l'aviez déjà essayé, mais cela a toujours fonctionné pour moi, donc j'ai pensé le poster pour voir si c'était utile.

function [sigma] = validateCovMatrix(sig)

% [sigma] = validateCovMatrix(sig)
%
% -- INPUT --
% sig:      sample covariance matrix
%
% -- OUTPUT --
% sigma:    positive-definite covariance matrix
%

EPS = 10^-6;
ZERO = 10^-10;

sigma = sig;
[r err] = cholcov(sigma, 0);

if (err ~= 0)
    % the covariance matrix is not positive definite!
    [v d] = eig(sigma);

    % set any of the eigenvalues that are <= 0 to some small positive value
    for n = 1:size(d,1)
        if (d(n, n) <= ZERO)
            d(n, n) = EPS;
        end
    end
    % recompose the covariance matrix, now it should be positive definite.
    sigma = v*d*v';

    [r err] = cholcov(sigma, 0);
    if (err ~= 0)
        disp('ERROR!');
    end
end

dans Matlab:

help cholupdate

Je reçois

CHOLUPDATE Rank 1 update to Cholesky factorization.
    If R = CHOL(A) is the original Cholesky factorization of A, then
    R1 = CHOLUPDATE(R,X) returns the upper triangular Cholesky factor of A + X*X',
    where X is a column vector of appropriate length.  CHOLUPDATE uses only the
    diagonal and upper triangle of R.  The lower triangle of R is ignored.

    R1 = CHOLUPDATE(R,X,'+') is the same as R1 = CHOLUPDATE(R,X).

    R1 = CHOLUPDATE(R,X,'-') returns the Cholesky factor of A - X*X'.  An error
    message reports when R is not a valid Cholesky factor or when the downdated
    matrix is not positive definite and so does not have a Cholesky factorization.

    [R1,p] = CHOLUPDATE(R,X,'-') will not return an error message.  If p is 0
    then R1 is the Cholesky factor of A - X*X'.  If p is greater than 0, then
    R1 is the Cholesky factor of the original A.  If p is 1 then CHOLUPDATE failed
    because the downdated matrix is not positive definite.  If p is 2, CHOLUPDATE
    failed because the upper triangle of R was not a valid Cholesky factor.

    CHOLUPDATE works only for full matrices.

    See also chol.

Une autre façon de calculer la factorisation de Cholesky consiste à fixer les éléments diagonaux de S à 1, puis à introduire une matrice diagonale D, avec des éléments positifs.

Cela évite d'avoir à prendre des racines carrées lors des calculs, ce qui peut poser des problèmes lors du traitement de "petits" nombres (c'est-à-dire des nombres suffisamment petits pour que l'arrondi qui se produit en raison des opérations en virgule flottante soit important). La page wikipedia a à quoi ressemble cet algorithme ajusté.

Donc au lieu de $P=SS^T$ vous obtenez $P=RDR^T$ avec $S=RD^{\frac{1}{2}}$

J'espère que cela t'aides!

En effet, la factorisation de Cholesky peut échouer lorsque votre matrice n'est pas "vraiment" positive définie. Deux cas apparaissent, ou vous avez une valeur eingen négative, ou votre plus petite valeur eingen est positive, mais proche de zéro. Le second cas doit théoriquement donner une solution, mais numériquement difficile. Si j'ai juste intuitif, ajoutez une petite constante à la diagonale de ma matrice pour résoudre le problème. Mais cette voie n'est pas rigoureuse car elle modifie légèrement la solution. Si vous devez calculer une solution de très haute précision, essayez des recherches sur la factorisation de Cholesky modifiée.

Si vous essayez d'estimer avec P non positif défini que vous demandez des problèmes et des algorithmes de défi, vous devriez éviter cette situation. Si votre problème est numérique: P est défini positif mais les valeurs propres numériques sont trop petites - essayez un nouveau scalling pour vos états Si votre problème est en effet non positif défini - essayez différents ensembles de variables d'état. J'espère que le conseil n'est pas trop tard Cordialement, Zeev