Quelle est la somme des variables t au carré?

Soit $t_i$ tiré iid d'une distribution de Student t avec degrés de liberté, pour taille moyenne (disons inférieure à 100). Définir est-il distribué presque comme un chi carré avec degrés de liberté? Existe-t-il quelque chose comme le théorème de la limite centrale pour la somme des variables aléatoires au carré?$n$$n$

Répondre à la première question.

On pourrait partir du fait noté par mpiktas, que $t^2 \sim F(1, n)$ . Et puis essayez une étape plus simple dans un premier temps - recherchez la distribution d'une somme de deux variables aléatoires distribuées par . Cela pourrait se faire soit en calculant la convolution de deux variables aléatoires, soit en calculant le produit de leurs fonctions caractéristiques.$F(1,n)$

L' article de PCB Phillips montre que ma première estimation des «fonctions hypergéométriques [confluentes] impliquées» était en effet vraie. Cela signifie que la solution ne sera pas anodine et que la force brute est compliquée, mais condition nécessaire pour répondre à votre question. Donc, puisque est fixe et que vous résumez les distributions t, nous ne pouvons pas dire avec certitude quel sera le résultat final. Sauf si quelqu'un a une bonne habileté à jouer avec les produits des fonctions hypergéométriques confluentes.$n$

Ce n'est même pas une approximation rapprochée. Pour les petits $n$ , l'espérance de $T$ est égale à alors que l'espérance deχ2(k)est égale àk. Lorsquekest petit (moins de 10, disons), les histogrammes delog(T)et delog(χ2(k))n'ont même pas la même forme, ce qui indique que le décalage et le redimensionnement$\frac{k n}{n-2}$$\chi^2(k)$$k$$k$$\log(T)$$\log(\chi^2(k))$ ne fonctionneront toujours pas.$T$

Intuitivement, pour de petits degrés de liberté Le de Student est à queue lourde. La quadrature accentue cette lourdeur. Les sommes seront donc plus asymétriques - généralement beaucoup plus asymétriques - que les sommes des normales au carré (le χ $t$$\chi^2$ distribution ). Les calculs et les simulations le confirment.

Illustration (comme demandé)

Chaque histogramme représente une simulation indépendante de 100 000 essais avec les degrés de liberté ( ) et les sommets ( k ) spécifiés , normalisés comme décrit par @mpiktas. La valeur de n = 9999 sur la ligne du bas se rapproche du cas χ 2 . Ainsi, vous pouvez comparer T à χ 2 en parcourant chaque colonne.$n$$k$$n=9999$$\chi^2$$T$$\chi^2$

Notez que la standardisation n'est pas possible pour car les moments appropriés n'existent même pas. Le manque de stabilité de la forme (lorsque vous numérisez de gauche à droite sur une ligne ou de haut en bas sur n'importe quelle colonne) est encore plus marqué pour n ≤ 4 .$n \lt 5$$n \le 4$

Je répondrai à la deuxième question. Le théorème central limite est pour toute séquence iid, au carré ou non au carré. Donc, dans votre cas, si est suffisamment grand, nous avons$k$

$\dfrac{T-kE(t_1)^2}{\sqrt{kVar(t_1^2)}}\sim N(0,1)$

où et V a r ( t 2 1 ) sont respectivement la moyenne et la variance de la distribution au carré de Student t avec n degrés de liberté. Notez que t 2 1 est distribué comme distribution F avec 1 et n degrés de liberté. Nous pouvons donc saisir les formules de moyenne et de variance de la page wikipedia . Le résultat final est alors:$Et_1^2$$Var(t_1^2)$$n$$t_1^2$$1$$n$

$\dfrac{T-k\frac{n}{n-2}}{\sqrt{k\frac{2n^2(n-1)}{(n-2)^2(n-4)}}}\sim N(0,1)$