Intervalle de confiance pour le produit de deux paramètres

Supposons que nous avons deux paramètres, et . Nous avons également deux estimateurs du maximum de vraisemblance et et deux intervalles de confiance pour ces paramètres. Existe-t-il un moyen de créer un intervalle de confiance pour ? $p_1$ $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— client
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Vous pouvez utiliser la méthode Delta pour calculer l'erreur standard de . La méthode delta indique qu'une approximation de la variance d'une fonction est donnée par: l'approximation de l'espérance de est donnée par: L'attente est donc simplement la fonction. Votre fonction est: . L'espérance de serait simplement: $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $g(t)$

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$

g (t)

$g(t)$

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$

g (t)

$g(t)$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$ . Pour la variance, nous avons besoin des dérivées partielles de :

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

En utilisant la fonction pour la variance ci-dessus, nous obtenons:

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$

L'erreur standard serait alors simplement la racine carrée de l'expression ci-dessus. Une fois l'erreur standard obtenue, il est simple de calculer un intervalle de confiance à 95% pour :

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

Pour calculer l'erreur standard de , vous avez besoin de la variance de et que vous pouvez généralement obtenir par la matrice de variance-covariance qui serait une matrice 2x2 dans votre cas car vous avez deux estimations. Les éléments diagonaux de la matrice variance-covariance sont les variances de et tandis que les éléments hors diagonale sont la covariance de et (la matrice est symétrique). Comme @gung le mentionne dans les commentaires, la matrice variance-covariance peut être extraite par la plupart des logiciels statistiques. Parfois, les algorithmes d'estimation fournissent $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\Sigma$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ Matrice de Hesse (je n'entrerai pas dans les détails à ce sujet ici), et la matrice de variance-covariance peut être estimée par l' inverse de la Hesse négative (mais seulement si vous avez maximisé la log-vraisemblance!; Voir ce post ). Encore une fois, consultez la documentation de votre logiciel statistique et / ou du web sur la façon d'extraire la Hesse et sur la façon de calculer l'inverse d'une matrice.

Alternativement, vous pouvez obtenir les variances de et partir des intervalles de confiance de la manière suivante (ceci est valable pour un IC à 95%): . Pour un -CI, l'erreur type estimée est: , où est le quantile de la distribution normale standard (pour , ). Ensuite, $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ $100(1-\alpha)\%$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ $z_{1-\alpha/2}$ $(1-\alpha/2)$ $\alpha=0.05$ $z_{0.975}\approx 1.96$ $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ . Il en va de même pour la variance de . Nous devons également covariance de et (voir le paragraphe ci-dessus). Si et sont indépendants, la covariance est nulle et nous pouvons supprimer le terme. $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$

Ce document peut fournir des informations supplémentaires.

— COOLSerdash
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+1. Les variances des paramètres et leur covariance peuvent être trouvées en examinant la matrice variance-covariance de , que la plupart des logiciels statistiques peuvent fournir. Par exemple, dans R, c'est ? Vcov ; & dans SAS, est ajouté en option à la déclaration de modèle dans PROC REG .

β

$\boldsymbol\beta$ covb

— gung - Rétablir Monica

@gung Sur un point de pédanterie, il pourrait être utile de souligner (car je sais que cela déroute certaines personnes) que c'est vraiment la matrice de variance-covariance de plutôt que (et en fait ce n'est même pas vraiment , car l'écart-type doit être estimé à partir de l'échantillon, il s'agit donc vraiment de la matrice de variance-covariance estimée .)

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— Silverfish

@Silverfish, dûment réprimandé. La prochaine fois, je dirai "la matrice de variance-covariance estimée de ".

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

— gung - Rétablir Monica

Vous pourriez essayer de construire une fonction de vraisemblance de profil! et construire l'intervalle de confiance à partir de cela.

— kjetil b halvorsen

N'est-ce pas puisque c'est un paramètre?

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

— user0

J'ai trouvé une équation différente pour le calcul de la variance du produit.

Si x et y sont distribués indépendamment, la variance du produit est relativement simple: V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y) Ces résultats se généralisent également aux cas impliquant trois variables ou plus (Goodman 1960). Source: Réglementation des pesticides (1980), annexe F

Coolserdash: le dernier composant V (x) * V (y) est manquant dans votre équation. Le livre référencé (Regulating Pesticides) est-il faux?

De plus, les deux équations peuvent ne pas être parfaites. " ... nous montrons que la distribution du produit de trois variables normales indépendantes n'est pas normale ." ( source ). Je m'attendrais à une asymétrie positive même dans le produit de deux variables normalement distribuées.

— Marek Čierny
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La longueur du CI / 2 / 1,96 = se, c'est-à-dire l'erreur standard de A ou B
se ^ 2 = var, c'est-à-dire la variance de l'estimation A ou B
Utilisez l'estimation A ou B comme moyen de A ou B, c'est-à-dire E (A) ou E (B)
Suivez cette page http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.html pour obtenir var (A * B), c'est-à-dire var (C)
La racine carrée de var (C) est le soi de C
(C - 1,96 * se (C), C + 1,96 * se (C)) est l'IC à 95% de C

Notez que si vos A et B sont corrélés, vous devez également considérer leur covariance.

— Café glacé
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