Question sur la pondération à variance inverse


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Supposons que nous voulons faire une inférence sur une réalisation non observée d'une variable aléatoire , qui est normalement distribuée avec la moyenne et la variance . Supposons qu'il existe une autre variable aléatoire (dont nous appellerons également réalisation non observée ) qui est normalement distribuée avec la moyenne et la variance . Soit la covariance de et .xx~μxσx2y~yμyσy2σxyx~y~

Supposons maintenant que nous observons un signal sur , où , et un signal sur , où . Supposons que et sont indépendants.x

a=x+u~,
u~N(0,ϕx2)y
b=y+v~,
v~N(0,ϕy2)u~v~

Quelle est la distribution de conditionnelle à et ?xab

Ce que je sais jusqu'à présent: en utilisant la pondération à variance inverse, et

E(x|a)=1σx2μx+1ϕx2a1σx2+1ϕx2,
Var(x|a)=11σx2+1ϕx2.

Comme et sont dessinés conjointement, devrait contenir des informations sur . À part le réaliser, je suis coincé. Toute aide est appréciée!xybx


Cela ressemble exactement aux premières étapes de la dérivation d'un filtre de Kalman. Vous pouvez regarder la dérivation et penser au gain de Kalman pour la mise à jour de l'estimation de la covariance d'état. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf
EngrStudent

Merci pour la réponse! J'ai lu le document dans votre lien, mais je ne vois pas le lien avec le filtrage de Kalman. Avez-vous une chance à élaborer? J'apprécie l'aide!
bad_at_math

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@EngrStudent Si l'OP n'est pas familier avec le filtre de Kalman, je ne vois pas comment cela va être d'une grande aide. Peut-être pourriez-vous plutôt expliquer comment aborder le problème sans invoquer les spécificités (ou le jargon) impliqués avec le KF, tout en utilisant peut-être votre compréhension de celui-ci pour guider une réponse sur les spécificités ici.
Glen_b -Reinstate Monica

Posté sur math.SE ici
Glen_b -Reinstate Monica

Réponses:


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Je ne sais pas si les formules de pondération à variance inverse s'appliquent ici. Cependant, je pense que vous pourriez calculer la distribution conditionnelle de étant donné et en supposant que , , et suivent une distribution normale multivariée conjointe.xabxyab

Plus précisément, si vous supposez (de manière compatible avec ce qui est spécifié dans la question) que puis, laissant et , vous pouvez trouver que

[xyuv]N([μxμy00],[σx2σxy00σxyσy20000ϕx20000ϕy2])
a=x+ub=y+v
[xab]N([μxμxμy],[σx2σx2σxyσx2σx2+ϕx2σxyσxyσxyσy2+ϕy2]).
(Notez que dans ce qui précède, il est implicitement supposé que et sont indépendants l'un de l'autre et également avec et .)uvxy

À partir de cela, vous pouvez trouver la distribution conditionnelle de étant donné et utilisant les propriétés standard de la distribution normale multivariée (voir ici par exemple: http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributions ).xab

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