Trouver la variance de l'estimateur pour la probabilité maximale pour la distribution de Poisson

9

Si sont des distributions de Poisson iid avec le paramètre j'ai calculé que l'estimation du maximum de vraisemblance est pour les données . On peut donc définir l'estimateur correspondant Ma question est de savoir comment calculer la variance de cet estimateur? $K_1, \dots, K_n$ $\beta$

\hat{β} (k_{1}, \dots, k_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} k_{i}

$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$

k_{1}, \dots, k_{n}

$k_1, \dots, k_n$

T = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} K_{i} .

$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$

En particulier, comme chaque suit une distribution de Poisson avec le paramètre je sais, à partir des propriétés du Poisson, que la distribution suivra une distribution de Poisson avec le paramètre , mais quoi est la distribution de ? $K_i$ $\beta$ $\sum_{i=1}^n K_i$ $n \beta$ $T$

variance maximum-likelihood poisson-distribution

— user53076
source

1

Vous n'avez pas besoin de la distribution de pour déterminer sa variance, juste les propriétés de base des variances.

T

$T$

— Glen_b -Reinstate Monica

6

$T$ est distribué ... comme une variable de Poisson mise à l'échelle par . D'où la variance de est . $n$ $T$ $1/n^2 \times n\beta$

— F. Tusell
source

4

Souvenez-vous que toujours. Mais, si les sont indépendants, quelle est la valeur de ? C'est tout ce dont vous avez besoin pour répondre à la question.

V a r (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} V a r (X_{i}) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i} a_{j} C o v (X_{i} X_{j}),

$\mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, ,$

X_{i}

$X_i$

C o v (X_{i} X_{j})

$\mathbb{Cov}(X_i X_j)$

— Zen
source