Conditions d'existence d'une matrice d'information Fisher

Différents manuels citent différentes conditions d'existence d'une matrice d'information de Fisher. Plusieurs de ces conditions sont énumérées ci-dessous, chacune d'entre elles apparaissant dans certaines, mais pas toutes, des définitions de «matrice d'information de Fisher».

1. Existe-t-il un ensemble standard et minimal de conditions?
2. Parmi les 5 conditions ci-dessous, lesquelles peuvent être supprimées?
3. Si l'une des conditions peut être supprimée, pourquoi pensez-vous qu'elle a été incluse en premier lieu?
4. Si l'une des conditions ne peut être supprimée, cela signifie-t-il que les manuels qui ne l'ont pas spécifié ont donné une définition erronée, ou du moins incomplète?

1. Zacks, La théorie de l'inférence statistique (1971), p. 194.
   La matrice est définie positive pour tout θ ∈ Θ . $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Schervish, Theory of Statistics (1997, corr. 2e impression), Définition 2.78, p. 111
   L'ensemble est le même pour tous les θ . $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. Borovkov, Statistiques mathématiques (1998). p. 147
   sont continuellement différenciables par rapport à . $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. Borovkov, Statistiques mathématiques (1998). p. 147 est continu et inversible.
   $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. Gourieroux & Monfort, Statistiques et modèles économétriques, Vol I (1995). Définition (a), pp. 81-82 existent
   $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

En comparaison, voici la liste complète des conditions à Lehman & Cassella. Théorie de l'estimation ponctuelle (1998). p. 124 :

1. $\Theta$ est un intervalle ouvert (fini, infini ou semi-infini)
2. L'ensemble est le même pour tous les . $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$ existe et est fini.

Et voici la liste complète des conditions dans Barra, Notions fondamentales de statistique mathematique (1971). Définition 1, p. 35 :

Le score est défini pour tous les , chacun de ses composants est carré intégrable et a l'intégrale$\theta\in\Theta$$=0$

Il est intéressant de noter que ni Lehman & Cassella ni Barra ne stipulent que $\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

Je n'ai pas accès à toutes les références, mais je voudrais faire quelques remarques sur certains de vos points:

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$ . Cette égalité est souvent utile, mais pas strictement nécessaire.

• Il est difficile d'établir des conditions générales pour l'existence de la FIM sans écarter certains modèles pour lesquels la FIM existe réellement. Par exemple, la condition de différenciation n'est pas une condition nécessaire à l'existence de la FIM. Un exemple de ceci est le modèle à double exponentielle ou Laplace. La FIM correspondante est bien définie, mais la densité n'est pas doublement différenciable au niveau du mode. Certains autres modèles qui sont doublement différenciables ont un FIM de mauvais comportement et nécessitent des conditions supplémentaires (voir cet article ).

Il est possible de proposer des conditions suffisantes très générales, mais elles peuvent être trop strictes. Les conditions nécessaires à l'existence de la FIM n'ont pas été entièrement étudiées. Ensuite, la réponse à votre première question peut ne pas être simple.