Propriétés de la probabilité conditionnelle normale et implicite bivariée standard dans le modèle de Roy

Désolé pour le long titre, mais mon problème est assez spécifique et difficile à expliquer dans un seul titre.

J'apprends actuellement sur le modèle Roy (analyse des effets du traitement).

Il y a une étape de dérivation sur mes diapositives, que je ne comprends pas.

Nous calculons le résultat attendu avec le traitement dans le groupe de traitement (le mannequin D est un traitement ou non). Ceci est écrit comme

$$\begin{align} E[Y_1|D=1] \end{align}$$

depuis $Y_1=\mu_1 + U_1$ cela peut être réécrit comme

$$\begin{align} E[Y_1|D=1] &= E[\mu_1+U_1|D=1]\\ &=\mu_1+ E[U_1|D=1] \end{align}$$ avant de dire aussi que $D=1$ si $Y_1>Y_0$ il en résulte:

$Y_1-Y_0>0$

$\mu_1+U_1-(\mu_0-U_0)>0$

$(\mu_1+U_1)/\sigma-(\mu_0-U_0)/ \sigma >0$

$Z-\epsilon>0$

donc $D=1$ si $\epsilon<Z$

Par conséquent, il soutient que

$$\begin{align} E[Y_1|D=1] &=\mu_1 + E[U_1|\epsilon<Z] \end{align}$$

On sait en outre que

$$\begin{align} \begin{bmatrix} U_1 \\ U_0 \\ \epsilon \end{bmatrix}=N\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{10} & \sigma_{1\epsilon} \\ \sigma_{10} & \sigma_{0}^2 & \sigma_{0\epsilon} \\ \sigma_{1\epsilon} & \sigma_{0\epsilon} & \sigma_{\epsilon}^2 \end{bmatrix}\right) \end{align}$$

il s'ensuit donc: $P(D=1)=P(\epsilon<Z)=\Phi(Z)$

Voici maintenant ma question, les diapositives disent que

$$\begin{align} \mu_1 - E[U_1|\epsilon<Z] =\mu_1 - \sigma_{1\epsilon} \frac{\phi(Z)}{\Phi(Z)} \end{align}$$ Et je ne comprends pas pourquoi?

Je sais que si deux variables aléatoires suivent une distribution normale bivariée standard: $E[u_1|u_2)=\rho u_2$

donc $E[u_1|u_2>c)=E[\rho u_2|u_2>c]=\rho E[u_2|u_2>c)=\rho\frac{\phi(c)}{1-\Phi(c)}$

Je m'attendais donc à un "plus" et non à un signe moins? Aussi pourquoi utilisons-nous la covariance$\sigma_{1\epsilon}$ et non la corrélation $\rho$? Je me serais donc attendu à quelque chose comme

$$\begin{align} \mu_1 - E[U_1|\epsilon<Z] =\mu_1 + \rho \frac{\phi(Z)}{\Phi(Z)} \end{align}$$

Je suis conscient du fait que si je fais la troncature d’en haut $1-\Phi(c)$ devient un $\Phi(c)$.

Tout d'abord, dans le modèle Roy, $\sigma_{\varepsilon}^{2}$ est normalisé pour être $1$pour des raisons d'identification (cf. Cameron et Trivedi: Microéconométrie: méthodes et applications). Je maintiendrai cette normalisation par la suite. Pour répondre à votre question, montrons

$$\mathrm{{E}}\left(U_{1}\mid\varepsilon<Z\right)=-\sigma_{1\varepsilon}\frac{\phi\left(Z\right)}{\Phi\left(Z\right)}$$ première. Ici$\phi$ et $\Phi$sont respectivement le pdf et le cdf d'une distribution normale standard. Notez que $$\mathrm{E}\left(U_{1}\mid\varepsilon<Z\right)=\mathrm{E}\left(\mathrm{E}\left(U_{1}\mid\varepsilon\right)\mid\varepsilon<Z\right)$$ par la loi de l'attente itérée. Le vecteur$\left(U_{1},\varepsilon\right)$ est une normale bivariée avec une moyenne $\left(0,0\right)'$ et matrice de covariance $$\left[\begin{array}{cc} \sigma_{1}^{2} & \sigma_{1\epsilon}\\ & 1 \end{array}\right].$$ La moyenne conditionnelle $\mathrm{{E}}\left(U_{1}\mid\varepsilon\right)=\sigma_{1\varepsilon}\varepsilon$ (notez que la covariance et non la corrélation se produit ici parce que $\sigma_{\varepsilon}^{2}=1$). Donc, $$\mathrm{E}\left(U_{1}\mid\varepsilon<Z\right)=\sigma_{1\varepsilon}\mathrm{E}\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right).$$ La fonction de densité de $\varepsilon\mid\varepsilon<Z$ est $$f\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right)=\begin{cases} \frac{\phi\left(\varepsilon\right)}{\Phi\left(Z\right)}, & -\infty<\varepsilon<Z;\\ 0, & \varepsilon\geq Z. \end{cases}$$ La moyenne conditionnelle $\mathrm{E}\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right)$ est $$\begin{eqnarray*} \mathrm{E}\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right) & = & \int_{-\infty}^{Z}t\frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(Z\right)}\,\mathrm{{d}}t\\ & = & \frac{1}{\Phi\left(Z\right)}\int_{-\infty}^{Z}t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}t^{2}\right)\,\mathrm{{d}}t\\ & = & -\frac{1}{\Phi\left(Z\right)}\int_{-\infty}^{Z}\frac{\partial}{\partial t}\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}t^{2}\right)\right\} \,\mathrm{{d}}t\\ & = & -\frac{1}{\Phi\left(Z\right)}\left(\phi\left(Z\right)-\phi\left(-\infty\right)\right). \end{eqnarray*}$$ Notez comment le signe négatif sort. Donc,$\mathrm{E}\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right)=-\phi\left(Z\right)/\Phi\left(Z\right)$, et la conclusion suit.