Le lemme de Neyman-Pearson peut-il s'appliquer au cas où le simple nul et l'alternative n'appartiennent pas à la même famille de distributions?

Le lemme de Neyman-Pearson peut-il s'appliquer au cas où un simple nul et une simple alternative n'appartiennent pas à la même famille de distributions? De sa preuve, je ne vois pas pourquoi il ne peut pas.

Par exemple, lorsque le simple null est une distribution normale et l'alternative simple est une distribution exponentielle.
Le test du rapport de vraisemblance est-il un bon moyen de tester un composite nul par rapport à une alternative composite lorsque les deux appartiennent à des familles de distributions différentes?

Merci et salutations!

hypothesis-testing mathematical-statistics

— Tim
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Voilà une bonne question.

— Glen_b -Reinstate Monica

Comme vous le dites dans la question, la preuve ne fait aucune hypothèse sur la forme des deux distributions. Faites confiance aux mathématiques.

— Cyan

@Cyan: Le test du rapport de vraisemblance est-il un bon moyen pour les alternatives composites nulles et composites qui appartiennent à différentes familles de distributions?

— Tim

Pour clarifier mon commentaire précédent: je vois souvent des gens dire «non» - en fait, il semble même dans les articles : - «[Les tests de rapport de vraisemblance] ... ne peuvent pas être utilisés pour faire des inférences sur la forme fonctionnelle de la distribution des données. " Ce serait bien si ce genre d’affirmations ne restait pas si souvent sans réponse.

— Glen_b -Reinstate Monica

Ceci est un non-question parce que les deux distributions distinctes

font partie d'une famille à un paramètre continu

F

$F$

G

$G$

{p F + (1 - p) G},

$\{pF + (1-p)G\},$

0 \leq p \leq 1

$0\le p \le 1$

— whuber

Réponses:

Oui, le lemme de Neyman Pearson peut s'appliquer au cas où une simple alternative nulle et simple n'appartient pas à la même famille de distributions.

Supposons que nous construisions un test le plus puissant (MP) de contre de sa taille. $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$

Pour un particulier , notre fonction critique par le lemme de Neyman Pearson est $k$

ϕ (X) = {\begin{cases} 1, & \frac{F_{1} (X)}{F_{0} (X)} > k \\ 0, & Autrement \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

est un test MP de contre de sa taille. $H_0$ $H_1$

Ici

r (X) = \frac{F_{1} (X)}{F_{0} (X)} = \frac{e^{- X}}{\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- X^{2} / 2}} = \sqrt{2 π} e^{(\frac{X^{2}}{2} - X)}

$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$

Notez que Maintenant, si vous dessinez l'image de[Je ne sais pas comment construire une image en réponse], à partir du graphique, il sera clair que

r^{'} (X) = \sqrt{2 π} e^{(\frac{X^{2}}{2} - X)} (X - 1) {\begin{cases} < 0, & X < 1 \\ > 0, & X > 1 \end{cases}

$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$

r (x)

$r(x)$

r (x) > k ⟹ x > c

$r(x)>k \implies x>c$

Donc, pour un particulier c'est un test MP de contre de sa taille. $c$

ϕ (X) = {\begin{cases} 1, & X > c \\ 0, & Autrement \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

H_{o}

$H_o$

H_{1}

$H_1$

Vous pouvez tester

1. contre $H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
2. $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
3. $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

Par le lemme Neyman Pearson.

$\mathbb{\theta}$

C'est tout de moi.

— UN D
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Q2. Le rapport de vraisemblance est une statistique de test suffisamment sensible mais (a) le lemme de Neyman-Pearson ne s'applique pas aux hypothèses composites, donc le TLR ne sera pas nécessairement le plus puissant; & (b) Le théorème de Wilks ne s'applique qu'aux hypothèses imbriquées, donc à moins qu'une famille ne soit un cas particulier de l'autre (par exemple exponentielle / Weibull, Poisson / binôme négatif), vous ne connaissez pas la distribution du rapport de vraisemblance sous le nul, même asymptotiquement.

— Scortchi - Réintégrer Monica
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"... vous ne connaissez pas la distribution du rapport de vraisemblance sous le nul, même asymptotiquement." Ce n'est pas une si grande préoccupation dans un monde où vous pouvez coder une simulation sous le zéro en moins de 20 lignes de R.

— Cyan

@Cyan: L'écriture de ces 20 lignes pourrait cependant nécessiter une certaine réflexion. Gardez à l'esprit qu'il s'agit d'un nul composite, en général, nous n'aurons pas de pivots, et je ne pense pas que le LR sera nécessairement un pivot approximatif. Je suppose que tu pourrais étudier le LR ...

— Scortchi - Réintégrer Monica

$\alpha$ $\phi$ $\phi$ $\alpha^\mathrm{th}$ $H_0$ $H_1$
L' article original de Neyman & Pearson discute également des hypothèses composites. Dans certains cas, la réponse est simple - s'il existe un choix de distributions particulières dans chaque famille dont le rapport de vraisemblance est conservateur lorsqu'il est appliqué à l'ensemble de la famille. C'est ce qui arrive souvent, par exemple, pour des hypothèses imbriquées. Il est cependant facile que cela ne se produise pas; cet article de Cox explique ce qu'il faut faire plus loin. Je pense qu'une approche plus moderne ici serait de l'aborder de manière bayésienne, en plaçant les prieurs sur les deux familles.

— petrelharp
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Grande référence là-bas - le papier Cox.

— Scortchi - Réintégrer Monica