Rapport entre la somme de Normal et la somme des cubes de Normal

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Aidez-moi à trouver la distribution limite (comme ) des éléments suivants: $n \rightarrow \infty$ oùsont iid.

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + \dots X_{n}^{3}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$

X_{i}

$X_i$

N (0, 1)

$N(0,1)$

distributions normal-distribution asymptotics

— Arunangshu Biswas
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1

Avez-vous essayé d'examiner les transformations de variables aléatoires? Par exemple, on pourrait essayer des fonctions caractéristiques, les transformées de Laplace-Stieltjes, etc.

— Stijn

1

Astuce: Le numérateur et le dénominateur sont normaux asymptotiquement bivariés. Vous pouvez calculer directement leurs moments: leurs moyennes sont évidemment nulles, la variance du numérateur est

, la variance du dénominateur est

, et la covariance est

. (Ainsi la corrélation est de

n

$n$

15 n

$15n$

3 n

$3n$

.) Pour trouver la distribution limite, exprimez toute normale bivariée à moyenne nulle

sous la forme

pour les normales indépendantes à moyenne nulle

et

et la constante

, puis notez que le rapport

est une distribution de Cauchy à échelle décalée.

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$

(U, V)

$(U,V)$

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$

A

$A$

B

$B$

β

$\beta$

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$

— whuber

2

Si la formulation était oùetsont indépendants, ce ne serait qu'un exercice classique. Vous utilisez le fait que

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{Y_{1}^{3} + Y_{2}^{3} + \dots Y_{n}^{3}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$

et nous pouvons conclure que

asymptote à la distribution de Cauchy à l'échelle.

F_{n} \overset{d}{\to} F, G_{n} \overset{d}{\to} G \Rightarrow \frac{F_{n}}{G_{n}} \overset{d}{\to} \frac{F}{G}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$

U

$U$

Mais dans votre formulation, nous ne pouvons pas appliquer le théorème à cause de la dépendance. Mon Monte-Carlo suggère que la distribution limite de est non dégénérée et qu'elle n'a pas de premier moment et n'est pas symétrique. J'aimerais savoir s'il existe une solution explicite à ce problème. J'ai l'impression que la solution ne peut être écrite qu'en termes de processus de Wiener. $U_n$

[MODIFIER] Suivant le conseil de whuber, notez que

(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}^{3}) \overset{d}{\to} (Z_{1}, Z_{2})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$

(Z_{1}, Z_{2}) \sim N (0, (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{5}} \frac{Z_{3}}{Z_{2}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— Julius
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$X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ J'ai entendu dire que les ratios ou les inverses de variables aléatoires sont souvent problématiques, car ils n'ont pas d'attentes. Pourquoi donc? ). Mais ici, il y a une dépendance entre le numérateur et le dénominateur qui complique la question ... (Clairement besoin de plus de réflexion ici).

$x_i^3$

— kjetil b halvorsen
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