Valeur attendue et variance du log (a)

J'ai une variable aléatoire où a est normalement distribué . Que puis-je dire à propos de et ? Une approximation serait également utile. $X(a) = \log(a)$ $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ $E(X)$ $Var(X)$

— Rockportrocker
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Je pense que la question portait sur "l'inverse" de la log-normale, c'est-à-dire lorsqu'un rv normal A conduit à une log-normale X = exp (A), le questionneur posait des questions sur la distribution de X = log (A), qui est indéfini (car il nécessite parfois le journal d'un nombre négatif). Il peut y avoir des résultats pour une normale tronquée, mais ils sont susceptibles d'être désordonnés.

— Martin O'Leary

rocksportrocker, comme le souligne @Martin O'Leary, il n'est pas mathématiquement possible d'avoir une telle variable , car n'est pas défini pour les valeurs négatives. Au minimum, vous devez tronquer à une valeur non négative. Pourriez-vous nous dire pourquoi vous pensez pourrait être normal?

X

$X$

\log (a)

$\log(a)$

a

$a$

a

$a$

— whuber

Si nous considérons «approximation» dans un sens assez général, nous pouvons arriver quelque part.

Nous devons supposer non pas que nous avons une distribution normale réelle, mais quelque chose qui est approximativement normal, sauf que la densité ne peut pas être différente de zéro dans un voisinage de 0.

Supposons donc que $a$ soit "approximativement normal" (et concentré près de la moyenne *) dans un sens que nous pouvons dissiper les inquiétudes concernant $a$ rapprochement de 0 (et son impact ultérieur sur les moments de $\log(a)$ , car $a$ doesn 't' descend près de 0 '), mais avec les mêmes moments d'ordre bas que la distribution normale spécifiée, nous pourrions alors utiliser la série de Taylor pour approximer les moments de la variable aléatoire transformée .

Pour certaines transformations , cela implique d'élargir comme une série de Taylor (pensez où joue le rôle de ' ' et prend le rôle de « »), puis prendre les attentes, puis calculer la variance ou l'espérance du carré de l'expansion (à partir de laquelle on peut obtenir la variance). $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

L'espérance et la variance approximatives qui en résultent sont:

$\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

et donc (si je n'ai fait aucune erreur), quand : $g() = \log()$

E [\log (a)] \approx l o g (μ_{a}) - \frac{σ_{a}^{2}}{2 μ_{a}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (a)] \approx σ_{a}^{2} / μ_{a}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* Pour que ce soit une bonne approximation, vous voulez généralement que l'écart-type de soit assez petit par rapport à la moyenne (faible coefficient de variation). $a$

— Glen_b -Reinstate Monica
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Étant donné que la série de Taylor pour log a un rayon de convergence relativement petit, la prudence est recommandée lors de l'application de ces approximations.

— whuber

@whuber pour une expansion autour de la moyenne, je pense que cela correspondrait à l'avis que "l'écart-type d' devrait être assez petit par rapport à la moyenne" que ma réponse se termine - si je manque un autre problème que cet avis ne couvre pas je devrais corriger ma réponse.

a

$a$

— Glen_b -Reinstate Monica

L'approximation de la moyenne fonctionne assez bien pour et celle de la variance fonctionne assez bien pour ou plus.

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— whuber

Dans tous les cas, il vaut certainement la peine d’être clair que nous comptons indirectement sur la convergence de (puisque ). Merci également pour les valeurs explicites suggérées; si quoi que ce soit, je suis un peu trop prudent lorsque je l'utilise. Deux précieux commentaires.

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$

— Glen_b -Reinstate Monica