Nombre prévu de doublons (triplets, etc.) lors du dessin avec remplacement

J'ai le problème suivant:

J'ai 100 articles uniques (n), et j'en sélectionne 43 (m) un à la fois (avec remplacement).

Je dois résoudre pour le nombre attendu d'uniques (sélectionné une seule fois, k = 1), doubles (sélectionnés exactement deux fois k = 2), tripples (exactement k = 3), quads etc ...

J'ai pu trouver plein de résultats sur la probabilité qu'il y ait au moins un double (paradoxe d'anniversaire), mais pas sur le nombre attendu de couples dans la population.

probability expected-value birthday-paradox

— Kaitlyn K
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Une estimation de Monte Carlo vous serait-elle utile ou avez-vous besoin d'une réponse sous forme fermée?

— David J. Harris

Je préférerais une formule sous forme fermée afin de pouvoir l'appliquer facilement à différentes valeurs de n, m et k.

— Kaitlyn K

L' iterm sera sélectionné fois. De là, vous pouvez trouver toutes les quantités que vous voulez, car, par exemple, Par exemple, le nombre attendu de paires est donné par $i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

Vous pouvez obtenir la valeur numérique dans R avec la commande n * dbinom (k, m, 1 / n).

— Stefan Wager
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Cette formule peut-elle être utilisée pour ak = 0 ou 1?

— Kaitlyn K du

Oui il peut. Avec k = 0, vous pouvez l'interpréter comme «combien de points n'apparaîtront pas parmi les m sélectionnés».

— Stefan Wager

Mais ces événements ne sont pas indépendants. Par exemple, lorsque l'élément 1 apparaît m fois, aucun autre élément ne peut jamais apparaître. Vous ne pouvez pas simplement additionner les P.

— asterix314