Comment comparer la survie médiane entre les groupes?

J'examine la survie médiane en utilisant Kaplan-Meier dans différents états pour un type de cancer. Il existe de grandes différences entre les États. Comment puis-je comparer la survie médiane entre tous les États et déterminer lesquels sont significativement différents de la survie médiane moyenne à travers le pays?

Une chose à garder à l'esprit avec la courbe de survie de Kaplan-Meier est qu'elle est essentiellement descriptive et non inférentielle . C'est juste une fonction des données, avec un modèle incroyablement flexible qui se cache derrière. C'est une force car cela signifie qu'il n'y a pratiquement pas d'hypothèses qui pourraient être brisées, mais une faiblesse car il est difficile de la généraliser, et qu'elle convient aussi bien au «bruit» qu'au «signal». Si vous voulez faire une inférence, vous devez essentiellement introduire quelque chose d'inconnu que vous souhaitez savoir.

Maintenant, une façon de comparer les temps de survie médians est de faire les hypothèses suivantes:

1. J'ai une estimation du temps de survie médian pour chacun des i états, donnée par la courbe de kaplan meier.$t_{i}$$i$
2. Je m'attends à ce que le vrai temps de survie médian, soit égal à cette estimation. E ( T i | t i ) = t $T_{i}$$E(T_{i}|t_{i})=t_{i}$
3. Je suis certain à 100% que la vraie durée médiane de survie est positive. $Pr(T_{i}>0)=1$

Maintenant, la façon "la plus conservatrice" d'utiliser ces hypothèses est le principe d'entropie maximale, vous obtenez donc:

$$p(T_{i}|t_{i})= K exp(-\lambda T_{i})$$

Où et λ sont choisis de telle sorte que le PDF est normalisé et que la valeur attendue est t i . Maintenant nous avons:$K$$\lambda$$t_{i}$

= K [ - e x p ( - λ T i

$$1=\int_{0}^{\infty}p(T_{i}|t_{i})dT_{i} =K \int_{0}^{\infty}exp(-\lambda T_{i})dT_{i}$$ et maintenant nous avons E ( T i ) = $$=K \left[-\frac{exp(-\lambda T_{i})}{\lambda}\right]_{T_{i}=0}^{T_{i}=\infty}=\frac{K}{\lambda}\implies K=\lambda$$ $E(T_{i})=\frac{1}{\lambda}\implies \lambda=t_{i}^{-1}$

Et vous avez donc un ensemble de distributions de probabilité pour chaque état.

$$p(T_{i}|t_{i})= \frac{1}{t_{i}} exp\left(-\frac{T_{i}}{t_{i}}\right)\;\;\;\;\;(i=1,\dots,N)$$

Qui donnent une distribution de probabilité conjointe de:

$$p(T_{1},T_{2},\dots,T_{N}|t_{1},t_{2},\dots,t_{N})= \prod_{i=1}^{N}\frac{1}{t_{i}} exp\left(-\frac{T_{i}}{t_{i}}\right)$$

$H_{0}:T_{1}=T_{2}=\dots=T_{N}=\overline{t}$$\overline{t}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}t_{i}$$H_{A}:T_{1}=t_{1},\dots,T_{N}=t_{N}$

$$O(H_{A}|H_{0})=\frac{p(T_{1}=t_{1},T_{2}=t_{2},\dots,T_{N}=t_{N}|t_{1},t_{2},\dots,t_{N})}{ p(T_{1}=\overline{t},T_{2}=\overline{t},\dots,T_{N}=\overline{t}|t_{1},t_{2},\dots,t_{N})}$$ $$=\frac{ \left[\prod_{i=1}^{N}\frac{1}{t_{i}}\right] exp\left(-\sum_{i=1}^{N}\frac{t_{i}}{t_{i}}\right) }{ \left[\prod_{i=1}^{N}\frac{1}{t_{i}}\right] exp\left(-\sum_{i=1}^{N}\frac{\overline{t}}{t_{i}}\right) } =exp\left(N\left[\frac{\overline{t}}{t_{harm}}-1\right]\right)$$

Où

$$t_{harm}=\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}t_{i}^{-1}\right]^{-1}\leq \overline{t}$$

est la moyenne harmonique. Notez que les probabilités favoriseront toujours l'ajustement parfait, mais pas beaucoup si les durées médianes de survie sont raisonnablement proches. De plus, cela vous donne un moyen direct d'énoncer les preuves de ce test d'hypothèse particulier:

$O(H_{A}|H_{0}):1$

Combinez cela avec une règle de décision, une fonction de perte, une fonction d'utilité, etc. qui indique à quel point il est avantageux d'accepter l'hypothèse plus simple, et vous avez votre conclusion!

$H_{0}$

$$H_{S,i}:T_{i}=t_{i},T_{j}=T=\overline{t}_{(i)}=\frac{1}{N-1}\sum_{j\neq i}t_{j}$$

$i$

• $H_{A}$$H_{S,i}$
• $H_{0}$$H_{S,i}$
• $H_{S,k}$$k$$i$

Maintenant, une chose qui a été négligée ici est les corrélations entre les états - cette structure suppose que la connaissance du taux de survie médian dans un état ne vous dit rien sur le taux de survie médian dans un autre état. Bien que cela puisse sembler "mauvais", il n'est pas difficile de s'améliorer et les calculs ci-dessus sont de bons résultats initiaux faciles à calculer.

L'ajout de connexions entre les états modifiera les modèles de probabilité, et vous verrez effectivement une "mise en commun" des temps de survie médians. Une façon d'incorporer des corrélations dans l'analyse consiste à séparer les temps de survie réels en deux composantes, une "partie commune" ou "tendance" et une "partie individuelle":

$$T_{i}=T+U_{i}$$

$U_{i}$$\sigma$

Je pensais simplement ajouter à ce sujet que vous pourriez être intéressé par la régression quantile avec la censure. Bottai & Zhang 2010 ont proposé une "régression de Laplace" qui peut faire exactement cette tâche, vous pouvez trouver un PDF à ce sujet ici . Il existe un package pour Stata pour cela, il n'a pas encore été traduit en R bien que le package quantreg dans R ait une fonction de régression quantile censurée, crq , qui pourrait être une option.

Je pense que l'approche est très intéressante et pourrait être beaucoup plus intuitive pour les patients que les ratios de risques. Le fait de savoir, par exemple, que 50% du médicament survivent 2 mois de plus que ceux qui n'en prennent pas et que les effets secondaires vous obligent à rester 1 à 2 mois à l'hôpital pourraient faciliter le choix du traitement.

Tout d'abord, je visualisais les données: calculais les intervalles de confiance et les erreurs standard pour les survivances médianes dans chaque état et montrais les IC sur une parcelle forestière, les médianes et leurs SE en utilisant un graphique en entonnoir.

La «survie médiane moyenne dans tout le pays» est une quantité qui est estimée à partir des données et présente donc une incertitude, de sorte que vous ne pouvez pas la prendre comme valeur de référence précise pendant les tests de signification. Une autre difficulté de l'approche de la moyenne est que lorsque vous comparez une médiane d'état à celle-ci, vous comparez la médiane à une quantité qui inclut déjà cette quantité en tant que composant. Il est donc plus facile de comparer chaque état à tous les autres états combinés. Cela peut être fait en effectuant un test de classement de journal (ou ses alternatives) pour chaque état.
(Modifier après avoir lu la réponse de probabilités logiques: le test du rang de log compare la survie dans deux (ou plus) groupes, mais ce n'est pas strictement la médiane qu'il compare. Si vous êtes sûr que c'est la médiane que vous souhaitez comparer, vous pouvez vous fier à ses équations ou utiliser le rééchantillonnage ici aussi)

Vous avez étiqueté votre question [comparaisons multiples], donc je suppose que vous voulez également ajuster (augmenter) vos valeurs de p de telle sorte que si vous voyez au moins une valeur de p ajustée inférieure à 5%, vous pourriez conclure que «la survie médiane entre les états est pas égal »au niveau de signification de 5%. Vous pouvez utiliser des méthodes génériques et trop conservatrices comme Bonferroni, mais le schéma de correction optimal tiendra compte des corrélations des valeurs de p. Je suppose que vous ne voulez pas intégrer de connaissances a priori dans le schéma de correction, donc je vais discuter d'un schéma où l'ajustement multiplie chaque valeur p par la même constante C.

Comme je ne sais pas comment dériver la formule pour obtenir le multiplicateur C optimal, j'utiliserais le rééchantillonnage . Sous l'hypothèse nulle que les caractéristiques de survie sont les mêmes dans tous les états, vous pouvez donc permuter les étiquettes d'état des cas de cancer et recalculer les médianes. Après avoir obtenu de nombreux vecteurs rééchantillonnés de valeurs d'état p, je trouverais numériquement le multiplicateur C en dessous duquel moins de 95% des vecteurs ne comportent pas de valeurs p significatives et au-dessus desquels plus de 95%. Alors que la plage semble large, j'augmenterais à plusieurs reprises le nombre de rééchantillons d'un ordre de grandeur.