Théorème de Gauss-Markov: BLEU et OLS

Je lis sur le théorème de Guass-Markov sur wikipedia , et j'espérais que quelqu'un pourrait m'aider à comprendre le point principal du théorème.

Nous supposons qu'un modèle linéaire, sous forme de matrice, est donné par: et nous recherchons le BLEU, .

$$y = X\beta +\eta$$ $\widehat\beta$

Conformément à cela , je qualifierais "résiduel" et \ varepsilon = \ widehat \ beta - \ beta de "d'erreur". (C'est le contraire de l'usage sur la page Gauss-Markov).e = β - $\eta = y - X\beta$$\varepsilon = \widehat\beta - \beta$

L'estimateur OLS (moindres carrés ordinaires) peut être dérivé comme l'argmin de $||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$ .

Maintenant, notons $\mathbb{E}$ l'opérateur d'opération. À ma connaissance, ce que le théorème de Gauss-Markov nous dit est que, si $\mathbb{E}(\eta) = 0$ et $\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$ , alors l'argmin, sur tout estimateurs linéaires et sans biais, de $\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$ est donné par la même expression que le Estimateur OLS.

C'est-à-dire

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

Ma compréhension est-elle correcte? Et si oui, diriez-vous qu'il mérite une place plus importante dans l'article?

Je ne sais pas si j'ai bien compris votre question, mais si vous cherchez à prouver que l'OLS pour est BLEU (meilleur estimateur linéaire sans biais), vous devez prouver les deux choses suivantes: d'abord ce est sans biais et en second lieu que est le plus petit parmi tous les estimateurs linéaires sans biais. β Var( β$\hat{\beta}$$\hat{\beta}$$Var(\hat{\beta})$

La preuve que l'estimateur OLS est non biaisé peut être trouvée ici http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

et la preuve que est le plus petit parmi tous les estimateurs linéaires sans biais peut être trouvée ici http://economictheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/$Var(\hat{\beta})$

Il semble que mon intuition était correcte, comme cela a été confirmé, par exemple à la page 375 du livre Introductory Econometrics . Extrait pertinent: