Bonnes ressources (en ligne ou livre) sur les fondements mathématiques de la statistique

Avant de poser ma question, permettez-moi de vous donner un aperçu de ce que je sais sur les statistiques afin que vous ayez une meilleure idée des types de ressources que je recherche.

Je suis un étudiant diplômé en psychologie, et en tant que tel, j'utilise des statistiques presque tous les jours. À l'heure actuelle, je connais un assez large éventail de techniques, principalement lorsqu'elles sont mises en œuvre dans le cadre général de modélisation des équations structurelles. Cependant, ma formation a été dans l'utilisation de ces techniques et l'interprétation des résultats - je n'ai pas beaucoup de connaissances sur les fondements mathématiques formels de ces techniques.

Cependant, de plus en plus, j'ai dû lire des articles de statistiques proprement dites. J'ai trouvé que ces articles supposent souvent une connaissance pratique des concepts mathématiques que je ne connais pas beaucoup, comme l'algèbre linéaire. J'ai donc acquis la conviction que si je souhaite faire plus que d'utiliser aveuglément les outils qui m'ont été enseignés, il serait utile pour moi d'apprendre certaines des bases mathématiques de la statistique.

J'ai donc deux questions connexes:

1. Quelles techniques mathématiques me seraient utiles pour savoir si je veux approfondir les fondements mathématiques de la statistique? J'ai rencontré l'algèbre linéaire assez souvent, et je suis sûr que l'apprentissage de la théorie des probabilités serait utile, mais y a-t-il d'autres domaines de mathématiques qui me seraient utiles?
2. Quelles ressources (en ligne ou sous forme de livre) pouvez-vous me recommander en tant que personne qui veut en savoir plus sur les fondements mathématiques de la statistique?

Mathématiques:

Grinstead & Snell, Introduction to Probability (c'est gratuit)

Strang, Introduction à l'algèbre linéaire

Strang, Calculus

Consultez également Strang sur MIT OpenCourseWare.

Théorie statistique (c'est plus que des mathématiques):

Cox, principes d'inférence statistique

Cox & Hinkley, Statistiques théoriques

Geisser, Modes d'inférence statistique paramétrique

Et j'appuie Casella & Berger d'Andre.

Certains sujets importants de statistiques mathématiques sont:

• Famille exponentielle et suffisance.
• Construction de l'estimateur.
• Tests d'hypothèses.

Références concernant les statistiques mathématiques:

• Mood, AM, Graybill, FA et Boes, DC (1974). Introduction à la théorie des statistiques. (BC Harrinson & M. Eichberg, éd.) (3e éd., P. 564). McGraw-Hill, Inc.

• Casella, G. et Berger, RL (2002). Inférence statistique. (C. Crockett, éd.) (2e éd., P. 657). Pacific Grove, Californie: Wadsworth Group, Thomson Learning Inc.

Jetez un œil au Bootcamp Mathematical Biostatistics sur Coursera https://www.coursera.org/#course/biostats .

Le SEM est (à mon avis) très éloigné de la théorie des probabilités traditionnelle et de certaines techniques statistiques de base qui en découlent facilement (comme l'estimation ponctuelle, la théorie des grands échantillons et les statistiques bayésiennes). Je pense que SEM est le résultat d'une grande abstraction de ces méthodes. Je pense en outre que la raison pour laquelle de telles abstractions étaient nécessaires était due à la demande écrasante de mieux comprendre l' inférence causale .

Je pense qu'un livre qui serait parfait pour quelqu'un de votre milieu serait la causalité de Judea Pearl . Ce livre aborde spécifiquement SEM ainsi que les statistiques multivariées, développe une théorie de la causalité et de l'inférence, et est très philosophiquement solide. Ce n'est pas un livre mathématique, mais s'appuie fortement sur la logique et les contrefactuels, et développe un langage très précis pour défendre les modèles statistiques.

Je peux dire d'un point de vue mathématique que ces résultats sont très solides et ne nécessitent pas une compréhension approfondie du calcul. Je pense aussi qu'il est irréaliste pour quelqu'un de votre pedigree de rattraper les mathématiques nécessaires lorsque vous êtes déjà étudiant diplômé, c'est pourquoi il y a des statisticiens!