t1,t2,...,tkXt1,Xt2,...,Xtk( γ (ti-tj),1≤i,j≤k)γˆ est utilisé pour créer des matrices de covariance: étant donné les "temps" , il estime que la covariance du vecteur aléatoire (obtenu à partir du champ aléatoire à ces moments) est la matrice . Pour de nombreux problèmes, tels que la prédiction, il est crucial que toutes ces matrices soient non singulières. En tant que matrices de covariance putatives, elles ne peuvent évidemment pas avoir de valeurs propres négatives, d'où elles doivent toutes être définies positivement.t1,t2,…,tkXt1,Xt2,…,Xtk(γˆ(ti−tj),1≤i,j≤k)
La situation la plus simple dans laquelle la distinction entre les deux formules
γˆ(h)=n−1∑t=1n−h(xt+h−x¯)(xt−x¯)
et
γˆ0(h)=(n−h)−1∑t=1n−h(xt+h−x¯)(xt−x¯)
apparaît lorsque a une longueur de ; disons, . Pour et il est simple de calculerx2x=(0,1)t1=tt2=t+1
γˆ0=(14−14−1414),
qui est singulier, alors que
γˆ=(14−18−1814)
qui a des valeurs propres et , d'où elle est définie positive.3/81/8
Un phénomène similaire se produit pour , où est défini positif mais lorsqu'il est appliqué aux temps , disons - dégénère en une matrice de rang (ses entrées alternent entre et ).x=(0,1,0,1)γˆγˆ0ti=(1,2,3,4)11/4−1/4
(Il y a un modèle ici: des problèmes surviennent pour tout de la forme .)x(a,b,a,b,…,a,b)
Dans la plupart des applications, la série d'observations est si longue que pour la plupart des d'intérêt - qui sont bien inférieurs à - la différence entre et est sans conséquence. Ainsi, dans la pratique, la distinction n'est pas très importante et, théoriquement, le besoin de caractère positif l'emporte fortement sur tout désir possible d'estimations non biaisées.xthnn−1(n−h)−1