Attente du produit des variables aléatoires gaussiennes

Disons que nous avons deux vecteurs aléatoires gaussiens , y a-t-il un résultat bien connu pour l'attente de leur produit sans assumer l'indépendance? $p(x_1) = N(0,\Sigma_1), p(x_2) = N(0,\Sigma_2)$ $E[x_1x_2^T]$

random-variable normal-distribution expected-value

@ asd123 1) lorsque vous écrivez cela suggère que et sont des vecteurs, auquel cas le produit n'est pas défini comme écrit (sauf si ). Voulez-vous dire ? Sinon, que voulez-vous dire? 2) Sans indépendance, il n'est pas nécessairement vrai que soit conjointement normal, il semblerait donc que vous auriez besoin de plus d'informations sur leur distribution conjointe (et / ou matrice de variance / covariance) avant vous pourrait dire quelque chose de définitif.

Σ

$\Sigma$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{1} x_{2}

$x_{1}x_{2}$

n = 1

$n=1$

x_{1}^{T} x_{2}

$x_{1}^{\mathrm{T}}x_{2}$

(x_{1}, x_{2})

$(x_{1},x_{2})$

Oui, je voulais dire que et sont des vecteurs. Je sais aussi qu'ils sont conjointement gaussiens. Est ce que ça aide?

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

@ asd123 en partie, oui, car alors et seront indépendants si et seulement s'ils ne sont pas corrélés (regardez la matrice de variance / covariance de . Si les matrices de blocs hors diagonale sont nulles, elles ne sont pas corrélées). S'ils sont indépendants, vous pouvez simplement écrire le produit scalaire ci-dessus, prendre les valeurs attendues et tout sera réglé. S'ils ne sont pas indépendants, savez-vous quoi que ce soit sur les entrées de bloc hors diagonale?

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x^{T} = (x_{1}^{T}, x_{2}^{T})

$x^{\mathrm{T}}=(x_{1}^{\mathrm{T}},x_{2}^{\mathrm{T}})$

Soit dit en passant, si ce qui précède est vraiment ce que vous voulez dire, je vous recommande de changer le titre en "Attente du produit scalaire des vecteurs aléatoires gaussiens".

Désolé, j'avais l'intention de transposer l'autre variable. Le résultat est donc une matrice. C'est-à-dire (Mx1) x (1xM) = (MxM)

Réponses:

Oui, il y a un résultat bien connu. Sur la base de votre modification, nous pouvons nous concentrer d'abord sur les entrées individuelles du tableau . Une telle entrée est le produit de deux variables de moyenne nulle et de variances finies, disons et . L' inégalité de Cauchy-Schwarz implique que la valeur absolue de l'attente du produit ne peut pas dépasser. En fait, chaque valeur de l'intervalle est possible car elle résulte d'une distribution binormale. Par conséquent, l' entrée de doit être inférieure ou égale à $E[x_1 x_2^T]$ $\sigma_1^2$ $\sigma_2^2$ $|\sigma_1 \sigma_2|$ $[-|\sigma_1 \sigma_2|, |\sigma_1 \sigma_2|]$ $i,j$ $E[x_1 x_2^T]$ $\sqrt{\Sigma_{1_{i,i}} \Sigma_{2_{j,j}}}$ en valeur absolue.

Si nous supposons maintenant que toutes les variables sont normales et que est multinormal, il y aura d'autres restrictions car la matrice de covariance de doit être semi-définie positive. Plutôt que de m'étendre sur ce point, je vais illustrer. Supposons que ait deux composantes et et que ait une composante . Soit et une variance unitaire et une corrélation (spécifiant ainsi ) et supposons que une variance unitaire ( ). Soit l'attente de $(x_1; x_2)$ $(x_1; x_2)$ $x_1$ $x$ $y$ $x_2$ $z$ $x$ $y$ $\rho$ $\Sigma_1$ $z$ $\Sigma_2$ $x z$ être et celui de être . Nous avons établi que et . Cependant, toutes les combinaisons ne sont pas possibles: au minimum, le déterminant de la matrice de covariance de ne peut pas être négatif. Cela impose la condition non triviale $\alpha$ $y z$ $\beta$ $|\alpha| \le 1$ $|\beta| \le 1$ $(x_1; x_2)$

1 - α^{2} - β^{2} + 2 α β ρ - ρ^{2} \geq 0.

$1-\alpha ^2-\beta ^2+2 \alpha \beta \rho -\rho ^2 \ge 0.$

Pour tout il s'agit d'une ellipse (avec son intérieur) inscrite dans le carré . $-1 \lt \rho \lt 1$ $\alpha, \beta$ $[-1, 1] \times [-1, 1]$

Pour obtenir d'autres restrictions, des hypothèses supplémentaires sur les variables sont nécessaires.

Tracé de la région autorisée $(\rho, \alpha, \beta)$

texte alternatif

— whuber
source

Il n'y a pas de résultats solides et cela ne dépend pas de la gaussianité. Dans le cas où et sont des scalaires, vous vous demandez si la connaissance de la variance des variables implique quelque chose au sujet de leur covariance. la réponse de whuber est juste. L'inégalité de Cauchy-Schwarz et la semi-infinité positive contraignent les valeurs possibles. $x_1$ $x_2$

L'exemple le plus simple est que la covariance au carré d'une paire de variables ne peut jamais dépasser le produit de leurs variances. Pour les matrices de covariance, il y a une généralisation.

Considérez la matrice de covariance partitionnée par bloc de , $[x_1 \ x_2]$

[\begin{array}{cc} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{array}] .

$\left[ \begin{array}{cc} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{array} \right].$

Puis pour toutes les q-normes Schatten . Le caractère (semi) définitif positif de la matrice de covariance fournit également la contrainte que doit être positif (semi) défini. est l'inverse (Moore-Penrose) de .

‖ Σ_{12} ‖_{q}^{2} \leq ‖ Σ_{11} ‖_{q} ‖ Σ_{22} ‖_{q}

$\Vert \Sigma_{12} \Vert_q^2 \leq \Vert \Sigma_{11} \Vert_q \Vert \Sigma_{22} \Vert_q$

Σ_{11} - Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} Σ_{21}

$\Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21}$

Σ_{22}^{- 1}

$\Sigma_{22}^{-1}$

Σ_{22}

$\Sigma_{22}$

— vqv
source

supposons que est normal bivarié avec des moyennes nulles et une corrélation . puis $(X,Y)$ $\rho$

${\mathrm E} XY= cov(X,Y)= \rho\sigma_X\sigma_Y$ .

toutes les entrées de la matrice sont de la forme . $x_1x_2^T$ $XY$

— ronaf
source

... et puis, bien sûr, nous concluons . Cela illustre la réponse fournie par @vqv. @ronaf: pourquoi n'avez-vous pas voté la réponse de @ vqv alors ??

| ρ | \leq 1

$|\rho| \le 1$

— whuber

@whuber - après réflexion, je me rends compte que ma réponse - pour être utile - nécessite de connaître les covariances entre les coordonnées de et [ , dans la notation de @ vqv]. n'est pas mentionné spécifiquement dans la question du PO - donc il ne faut peut-être pas le considérer comme faisant partie des «données» connues du problème [un point qui a réussi à échapper à mon attention, je le crains]. dans ce cas, la réponse de @ vqv - et la vôtre - sont certainement plus pertinentes. je vote pour vos deux réponses - et merci de m'avoir fait regarder un peu plus dur les problèmes impliqués.

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

Σ_{12}

$\Sigma_{12}$

Σ_{12}

$\Sigma_{12}$

— ronaf