Variance des puissances d'une variable aléatoire

Est-il possible de dériver une formule de variance des puissances d'une variable aléatoire en termes de valeur attendue et de variance de X? et

var (X^{n}) = ?

$\operatorname{var}(X^n)= \,?$

E (X^{n}) = ?

$E(X^n)=\,?$

variance expected-value

— damla
source

Avez-vous une distribution particulière en tête? Pour obtenir une solution, vous avez besoin d'une telle restriction. Si une formule générale existait, alors il y aurait remarquablement peu de distributions: cette formule déterminerait tous les moments supérieurs et donc toutes les distributions pourraient être paramétrées par l'espérance et la variance, ce qui n'est clairement pas le cas.

— whuber

Je n'ai aucune restriction. La version indépendante et plus générale de ce problème est résolue dans ce lien: stats.stackexchange.com/questions/52646/… Donc, je me demande si nous pouvons dériver une équation générale pour celui-ci aussi. En d'autres termes, j'essaie de trouver où

v a r (X_{1} X_{2} \dots X_{n}) = ?

${\rm var}(X_1X_2 \cdots X_n)= \ ?$

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=⋯=X_n=X$

— damla

Oui: leur différence est la variance et la variance, en tant que somme de carrés, ne peut pas être négative.

— whuber

Stéphane Laurent Je ne vois pas où une telle affirmation est faite, mais juste pour être clair, je n'ai rien soutenu de tel.

— whuber

@Bastiaan ; pour les distributions normales est disponible ici .

V a r (X^{n}) = E [X^{2 n}] - E [X^{n}]^{2}

$\mathrm{Var}(X^n) = \mathbb{E}[X^{2n}] - \mathbb{E}[X^n]^2$

E [X^{n}]

$\mathbb{E}[X^n]$

— Dougal

si vous avez la fonction de génération de Moment pour la distribution X, vous pouvez calculer la valeur attendue de utilisant et en l'évaluant à . $X^n$ $\frac{d^n}{dt^n} MGF(x)$ $t=0$

— Nick Lim
source

Pouvez-vous expliquer comment cela peut aider à trouver ?

Var (X^{n})

$\operatorname{Var}(X^n)$

— Silverfish

Le commentaire de @Silverfish Dougal sur la question principale, publié seulement trois minutes avant votre commentaire ci-dessus, répond complètement à votre question.

— Dilip Sarwate