Pourquoi un estimateur doit-il être indépendant du paramètre?

entrez la description de l'image ici

Ceci est un extrait de "Statistiques mathématiques modernes avec applications" de Devore et al. Ce qui m'intrigue, c'est que l'estimateur ne peut s'empêcher d'être dépendant de , puisque l'échantillon dépend du paramètre. $\theta$

estimation

— qed
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Vous avez raison de dire que tout estimateur sensé sera une fonction (non constante) des données (sauf dans certains cas spéciaux, sans doute pathologiques, comme mon exemple ici ). Donc, il est correct de dire qu'un estimateur raisonnable dépend de par sa dépendance aux données. Mais je suis à peu près sûr que tout ce que signifie la phrase $\theta$

Montrer que est en effet un estimateur - que c'est une fonction des qui ne dépend pas de $U^{\star}$ $X_i$ $\theta$

est que la formule d'un estimateur ne peut pas contenir le paramètre. C'est pour exclure des choses comme , qui serait un estimateur parfait (même si vous n'aviez pas de données !!) mais vous auriez besoin d'être psychique pour le calculer :-) $\hat{\theta} = \theta$

Comme indiqué dans le passage que vous avez collé, puisque est une statistique suffisante, la distribution de toute statistique, par exemple , conditionnelle à , ne dépendra pas de . Par conséquent, ne peut pas dépendre de , garantissant qu'il aura la propriété en question. $T$ $U$ $T$ $\theta$ $U^{\star} = E(U|T)$ $\theta$

— Macro
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+1 Cette question révèle une ambiguïté intéressante dans la langue de ce manuel (bien reçu et populaire): "dépendent de " pourrait signifier au moins trois choses distinctes! (1) n'apparaît pas explicitement dans la formule. (2) Bien que puisse apparaître dans la formule, la formule est invariante sous les changements de . (3) est considéré comme une variable aléatoire (peut-être constante) et "depend" pourrait être entendu dans le sens de la dépendance des variables aléatoires. Malheureusement, la tentative de clarification ("la distribution ... n'implique pas ") est trop vague pour aider beaucoup.

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— blanc

Salut @whuber - Je ne sais pas trop ce que tu veux dire avec (2). J'essaie de penser à un estimateur qui possède cette propriété. Voulez-vous dire que la façon dont vous calculez l'estimateur serait la même indépendamment de ? Cela semble être équivalent à n'apparaissant pas dans la formule. Sinon, vous devrez à nouveau être psychique pour calculer l'estimateur, non? Si vous vouliez dire invariant dans le sens où la valeur numérique de l'estimateur reste la même quelle que soit la valeur cela ne ressemble pas à un très bon estimateur :-) Pouvez-vous clarifier?

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— Macro

C'est une différence subtile, mais c'est réel. À titre d'exemple trivial, après avoir observé succès dans iid essais binomiaux avec le paramètre , évidemment apparaît dans l'estimateur (admissible) " ", mais il est néanmoins valide car il ne varie pas avec . Plus subtilement (et encore trivialement) dans un problème d'échantillonnage iid Normal, l'estimateur non seulement implique mais varie en fait avec elle - mais la probabilité qu'elle ne soit pas constante est nulle et que est aussi bon qu'ils viennent.

k

$k$

n

$n$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + \log (\exp (θ)^{2}) / θ)

$(k+1)/(n+\log(\exp(\theta)^2)/\theta)$

θ

$\theta$

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

θ

$\theta$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

— whuber

Je suppose que je manque toujours votre point. Dans le premier estimateur, , donc annule réellement l'expression et il semble préférable de l'écrire simplement comme . Je pense que je manque vraiment votre point avec le deuxième. Je ne vois pas de là-dedans et il semble que car la probabilité que soit un entier est nulle. Donc, avec probabilité , qui n'implique pas . Je suis probablement dense. Si c'est trop long pour un commentaire, nous pouvons peut-être le faire dans le chat un jour.

\log (\exp (θ)^{2}) = 2 θ

$\log( \exp(\theta)^2 ) = 2 \theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + 2)

$(k+1)/(n+2)$

μ

$\mu$

P (\bar{x} \in Q) = 0

$P( \overline{x} \in \mathbb{Q}) = 0$

\bar{x}

$\overline{x}$

\hat{μ} = \bar{x}

$\hat{\mu} = \overline{x}$

1

$1$

θ

$\theta$

— Macro

Désolé pour la faute de frappe: ce deuxième estimateur aurait dû être . La distinction dans le premier cas est entre une formule et ses valeurs. (BTW, votre équation de avec n'est pas entièrement correcte car elle échoue pour , où ma formule n'est pas définie.)

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 μ I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mu\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

\log (\exp (θ)^{2}) / θ

$\log(\exp(\theta)^2)/\theta$

2

$2$

θ = 0

$\theta=0$

— whuber