Fonction de génération de moment du produit intérieur de deux vecteurs aléatoires gaussiens

Quelqu'un peut-il suggérer comment je peux calculer la fonction de génération de moment du produit intérieur de deux vecteurs aléatoires gaussiens, chacun distribué comme , indépendamment l'un de l'autre? Y a-t-il un résultat standard disponible pour cela? Tout pointeur est très apprécié. $\mathcal N(0,\sigma^2)$

— abhibhat
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Adresse de la première let cas . À la fin se trouve la généralisation (facile) à arbitraire . $\Sigma = \sigma\mathbb{I}$ $\Sigma$

Commencez par observer que le produit intérieur est la somme des variables iid, chacune d'elles étant le produit de deux variables normales indépendantes , réduisant ainsi la question à trouver le mgf de ce dernier, car le mgf d'une somme est le produit des mgfs. $(0,\sigma)$

Le mgf peut être trouvé par intégration, mais il existe un moyen plus simple. Lorsque et sont normaux, $X$ $Y$

X Y = ((X + Y) / 2)^{2} - ((X - Y) / 2)^{2}

$XY = ((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2$

est une différence de deux variables indépendantes du chi carré. (Le facteur d'échelle est à cause des écarts de sont égaux à .) Etant donné que le mgf d'une variable aléatoire de chi carré est $1/2$ $(X\pm Y)/2$ $1/2$ , le mgf deest $1/\sqrt{1 - 2\omega}$ $((X+Y)/2)^2$ et le mgf de est $1/\sqrt{1-\omega}$ $-((X-Y)/2)^2$ . En multipliant, nous constatons que le mgf souhaité est égal à $1/\sqrt{1+\omega}$ . $1/\sqrt{1-\omega^2}$

(Pour référence ultérieure, notez que lorsque et sont redimensionnés par , leur produit est mis à l'échelle par , d'où devrait également être mis à l'échelle par ) $X$ $Y$ $\sigma$ $\sigma^2$ $\omega$ $\sigma^2$

Cela devrait sembler familier: jusqu'à certains facteurs constants et un signe, cela ressemble à la densité de probabilité pour une distribution de Student t avec degré de liberté. (En effet, si nous avions travaillé avec des fonctions caractéristiques au lieu de mgfs, nous obtiendrions $0$ ,qui est encore plus proche d'un PDF étudiant t) Jamaisesprit qu'il n'y a pastelle chose comme un tStudent avec.DSF - tout ce qui importe est que le mgf être analytique dans un voisinage deet clairement est (par le théorème binomial). $1/\sqrt{1 + \omega^2}$ $0$ $0$

Il s'ensuit immédiatement que la distribution du produit intérieur de ces vecteurs gaussiens iid a mgf égal au produit fois de ce mgf, $n$ $n$

(1 - ω^{2} σ^{4})^{- n / 2}, n = 1, 2, \dots .

$(1 - \omega^2 \sigma^4)^{-n/2}, \quad n=1, 2, \ldots.$

En recherchant la fonction caractéristique des distributions de Student t, nous déduisons (avec un tout petit peu d'algèbre ou une intégration pour trouver la constante de normalisation) que le PDF lui-même est donné par

f_{n, σ} (x) = \frac{2^{\frac{1 - n}{2}} | x |^{\frac{n - 1}{2}} K_{\frac{n - 1}{2}} (\frac{| x |}{σ^{2}})}{\sqrt{π} σ^{4} Γ (\frac{n}{2})}

$f_{n,\sigma}(x) = \frac{2^{\frac{1-n}{2}} |x|^{\frac{n-1}{2}} K_{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{|x|}{\sigma ^2}\right)}{\sqrt{\pi } \sigma ^4 \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$

$K$

$10^5$ $\sigma=1/2$ $n=3$

Histogramme

Il est plus difficile de confirmer l'exactitude du mgf à partir d'une simulation, mais notez (d'après le théorème binomial) que

(1 + t^{2} σ^{4})^{- 3 / 2} = 1 - \frac{3 σ^{4} t^{2}}{2} + \frac{15 σ^{8} t^{4}}{8} - \frac{35 σ^{12} t^{6}}{16} + \frac{315 σ^{16} t^{8}}{128} + \dots,

$(1 + t^2 \sigma^4)^{-3/2} = 1-\frac{3 \sigma ^4 t^2}{2}+\frac{15 \sigma ^8 t^4}{8}-\frac{35 \sigma ^{12} t^6}{16}+\frac{315 \sigma ^{16} t^8}{128}+\ldots,$

$0$ $\sigma=1/2$

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

Comme prévu, les moments forts de la simulation commenceront à s'écarter des moments donnés par le mgf; mais au moins jusqu'au dixième moment, il y a un excellent accord.

$n=2$

$\Sigma$ $\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$ $0 \le d \le n$

{(\prod_{i = 1}^{d} (1 - ω^{2} σ_{i}^{4}))}^{- 1 / 2} .

$\left(\prod_{i=1}^d (1 - \omega^2\sigma_i^4)\right)^{-1/2}.$

$\Sigma$

(\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{8} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$

et calculé que ses valeurs propres sont

(σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, σ_{3}^{2}) = (\frac{1}{16} (17 + \sqrt{65}), \frac{1}{16} (17 - \sqrt{65}), \frac{3}{8}) \approx (1.56639, 0.558609, 0.375) .

$\left(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\right) = \left(\frac{1}{16} \left(17+\sqrt{65}\right),\frac{1}{16} \left(17-\sqrt{65}\right),\frac{3}{8}\right)\approx \left(1.56639,0.558609,0.375\right).$

$10^6$ $X_i$ $(0,\Sigma)$ $10^6$ $Y_i$ $10^6$ $X_i\cdot Y_i$ $-12$ $15$

Histogramme et PDF

Comme précédemment, l'accord est excellent. De plus, les moments correspondent bien jusqu'au huitième et raisonnablement bien même au dixième:

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

Addenda

(Ajouté le 9 août 2013.)

$f_{n,\sigma}$ $0$ $0$ $\sigma^2$ $n/2$

— whuber
source

Σ

$\Sigma$

J'ai ajouté une nouvelle section pour fournir certains des détails (faciles) de cette généralisation, pour préciser que rien de nouveau n'est impliqué ici. Vous pouvez également utiliser les propriétés de base de mgfs pour noter le mgf dans le cas où les données ont des moyennes différentes de zéro, résolvant ainsi le problème en général.

— whuber