La racine carrée d'une matrice semi-définie positive est-elle un résultat unique?

J'essaie de décomposer une série chronologique de observations en structure de variance-covariance et une série aléatoire .$n$$\bf{\mathrm{v_c}}$$n \times n$$\sum$$\bf{\mathrm{v}}$

Donc, je peux dériver la matrice de variance-covariance de la fonction d'autocorrélation de . Ce sera une matrice de Toeplitz, qui est semi-définie positive. Par conséquent, je suis capable de calculer une matrice appropriée pour transformer ma série corrélée en un signal aléatoire. $\sum$$\bf{\mathrm{v_c}}$$\sum^{-\frac{1}{2}}$

$\bf{\mathrm{v}} = \sum^{-\frac{1}{2}}\bf{\mathrm{v_c}}$

Je peux le faire en utilisant la fonction sqrt (m) dans MATLAB, mais je peux également trouver une factorisation de Cholesky de la matrice variance-covariance et l'utiliser pour induire les corrélations. Cependant, j'obtiens des résultats différents (mais quelque peu similaires) pour la série aléatoire en utilisant les méthodes sqrtm et Cholesky.

J'ai lu plusieurs textes pour déterminer comment je pourrais déterminer la racine carrée de diverses matrices, et j'ai examiné les méthodes de décomposition des valeurs propres et ainsi de suite. Je vois qu'il n'y a que des solutions uniques dans certaines conditions prescrites - mais je suppose que ces solutions uniques ne sont encore qu'une des nombreuses racines?

Ma question est la suivante: existe-t-il un moyen de faire valoir qu'une racine carrée particulière est préférable à une autre. Sinon, existe-t-il un moyen d'extraire toutes les solutions possibles, de manière à obtenir toutes les fonctions aléatoires possibles?

Soit une matrice ayant des "racines carrées" et ; C'est,$\mathbb{V}$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

Pour simplifier, supposons que la matrice d'origine est inversible (ce qui équivaut à être défini positif sous les hypothèses). Alors , , et leurs transpositions doivent également être inversibles car$\mathbb{V}$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

présente un inverse gauche pour , ce qui implique que est également inversible; le même argument s'applique à , bien sûr. Nous exploitons ces inverses pour écrire$\mathbb{A}^\intercal$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

montrant que est une matrice orthogonale : c'est-à-dire . L'ensemble de ces matrices forme deux variétés réelles lisses de dimension lorsque est par . Géométriquement, les matrices orthogonales correspondent à des rotations ou à une réflexion suivies de rotations, selon le signe de leur déterminant.$\mathbb{O=B^{-1}A}$$\mathbb{OO^\intercal=I}$$n(n-1)/2$$\mathbb{V}$$n$$n$

Inversement, lorsque est une racine carrée de , des calculs similaires (mais plus faciles) montrent que est également une racine carrée pour toute matrice orthogonale - et cela n'a pas d'importance ici si est inversible ou non.$\mathbb{A}$$\mathbb{V}$$\mathbb{AO}$$\mathbb{O}$$\mathbb{A}$

Il est également facile de voir que la multiplication par une matrice orthogonale (non égale à ) modifie vraiment la racine carrée d'une matrice inversible. Après tout, implique immédiatement . Cela montre que les racines carrées des matrices définies positives peuvent être mises en correspondance biunivoque avec les matrices orthogonales.$\mathbb{I}$$\mathbb{AO = A}$$\mathbb{O = A^{-1}A = I}$

Cela démontre que les racines carrées des matrices positives définies ne sont déterminées que jusqu'à la multiplication par des matrices orthogonales. Pour le cas semi-défini, la situation est plus compliquée, mais au minimum, la multiplication par une matrice orthogonale conserve la propriété d'être une racine carrée.

Si vous souhaitez appliquer des critères supplémentaires à votre racine carrée, vous pourrez peut-être en identifier un unique ou au moins réduire l'ambiguïté: cela dépendra de vos préférences particulières.