Puis-je convertir une matrice de covariance en incertitudes pour les variables?

J'ai une unité GPS qui émet une mesure de bruit via une matrice de covariance :$\Sigma$

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(il n'y a pas non plus de mais ignorons cela une seconde.)$t$

Supposons que je veuille dire à quelqu'un d'autre que la précision dans chaque direction ( ) est un certain nombre. \ mu_x, \ mu_y, \ mu_z . Autrement dit, mon GPS peut me donner une lecture de x = \ bar {x} \ pm \ mu_x , etc. Ma compréhension est que \ mu dans ce cas implique que tous les mesurandes sont indépendants les uns des autres (c'est-à-dire la covariance matrice est diagonale). De plus, trouver l'erreur vectorielle est aussi simple que d'ajouter des erreurs en quadrature (racine carrée de la somme des carrés).μ x , μ y , μ z x = ˉ x ± μ x$x,y,z$$\mu_x, \mu_y, \mu_z$$x=\bar{x}\pm\mu_x$$\mu$

Que se passe-t-il si ma matrice de covariance n'est pas diagonale? Existe-t-il un simple nombre $\mu_x^*$ qui englobe les effets des directions $y$ et $z$ ? Comment puis-je trouver cela étant donné une matrice de covariance?

Il n'y a pas de numéro unique qui englobe toutes les informations de covariance - il y a 6 éléments d'information, vous aurez donc toujours besoin de 6 chiffres.

Cependant, vous pourriez envisager de faire un certain nombre de choses.

Premièrement, l'erreur (variance) dans une direction particulière , est donnée par$i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

Où est le vecteur unitaire dans la direction d'intérêt.$\mathbf{e}_i$

Maintenant, si vous regardez ceci pour vos trois coordonnées de base vous pouvez voir que:$(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

L'erreur dans chacune des directions considérées séparément est donc donnée par la diagonale de la matrice de covariance. Cela a un sens intuitivement - si je ne considère qu'une seule direction, changer uniquement la corrélation ne devrait faire aucune différence.

Vous avez raison de noter que vous déclarez simplement:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

N'implique aucune corrélation entre ces trois déclarations - chaque déclaration en elle-même est parfaitement correcte, mais dans l'ensemble, certaines informations (corrélation) ont été supprimées.

Si vous prenez de nombreuses mesures chacune avec la même corrélation d'erreur (en supposant que cela provient de l'équipement de mesure), alors une possibilité élégante est de faire pivoter vos coordonnées afin de diagonaliser votre matrice de covariance. Ensuite, vous pouvez présenter séparément les erreurs dans chacune de ces directions, car elles ne seront plus corrélées.

Quant à prendre "l'erreur vectorielle" en ajoutant en quadrature, je ne suis pas sûr de comprendre ce que vous dites. Ces trois erreurs sont des erreurs de quantités différentes - elles ne s'annulent pas et je ne vois donc pas comment les additionner. Voulez-vous dire une erreur dans la distance?