Biais pour l'estimateur de densité du noyau (cas périodique)

L'estimateur de densité du noyau est donné par où iid avec une densité inconnue , - bande passante,

\hat{f} (x, h) = \frac{1}{n h} \sum_{i = 1}^{n} K (\frac{x - X_{i}}{h})

$\hat{f}(x,h)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K(\frac{x-X_{i}}{h})$

X_{1}, . . . X_{n}

$X_1,...X_n$

f

$f$

h

$h$

$K$ - fonction du noyau ( , , ). Le biais peut être calculé en utilisant l'expansion de Taylor: $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)dx=1$ $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)xdx=0$ $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)x^2dx<\infty$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{h} K (\frac{x - y}{h}) f (y) d y - f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} K (y) (f (x - h y) - f (x)) d y

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{h}K(\frac{x-y}{h})f(y)dy-f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}K(y)\left(f(x-hy)-f(x)\right)dy$

= \int_{- \infty}^{\infty} K (y) (f^{'} (x) h y + \frac{1}{2} f^{″} (x) (h y)^{2} + o (h^{2})) d y = \frac{1}{2} f^{″} (x) h^{2} + o (h^{2})

$=\int_{-\infty}^{\infty}K(y)\left(f'(x)hy+\frac{1}{2}f''(x)(hy)^{2}+o(h^{2})\right)dy=\frac{1}{2}f''(x)h^{2}+o(h^{2})$

Comment gérer le noyau périodique et $f$ ( $\int_{0}^{1}K(x)dx=1$ , $\int_{0}^{1}K(x)xdx=0$ , $\int_{0}^{1}K(x)x^2dx<\infty$ )?

Comment puis-je utiliser l'extension taylor? ( $\int_{0}^{1}\frac{1}{h}K(\frac{y-x}{h})f(y)dy=\int_{-\frac{x}{h}}^{1-\frac{x}{h}}K(y)f(x-yh)dy\neq\int_{0}^{1}K(y)f(x-yh)dy$ -Je ne peux pas utiliser les propriétés du noyau)

Pourriez-vous recommander un bon livre sur le lissage du noyau pour les données circulaires?

kernel-smoothing

— Katja
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Un rapide google le mentionne, ce qui indique que lorsque vous travaillez avec des données circulaires, vous aurez besoin d'une définition différente de "biais" pour commencer:

Cependant, lorsque nous utilisons des données sur le cercle, nous ne pouvons pas utiliser la distance dans l'espace euclidien, donc toutes les différences θ - θ _i doivent être remplacées en considérant l'angle entre deux vecteurs:

$d_i\theta)= \| \theta -\theta_i \| = \min(|\theta-\theta_i|, 2π -|\theta-\theta_i|).$

- Charles C. Taylor. Sélection automatique de la bande passante pour l'estimation de la densité circulaire. Statistiques computationnelles et analyse des données Volume 52, numéro 7, 15 mars 2008, pages 3493-3500. doi: 10.1016 / j.csda.2007.11.003

Il référence ces livres:

S. Rao Jammalamadaka et A. SenGupta, Topics in Circular Statistics , World Scientific, Singapour (2001).

KV Mardia et PE Jupp, Statistiques directionnelles , John Wiley, Chichester (1999).

— un arrêt
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