Une interaction est-elle possible entre deux variables continues?

Toutes mes variables sont continues. Il n'y a pas de niveaux. Est-il possible d' avoir même une interaction entre les variables?

Oui pourquoi pas? La même considération que pour les variables catégorielles s'appliquerait dans ce cas: l'effet de sur le résultat n'est pas le même selon la valeur de . Pour aider à le visualiser, vous pouvez penser aux valeurs prises par lorsque prend des valeurs hautes ou basses. Contrairement aux variables catégorielles, l'interaction n'est ici représentée que par le produit de et . Il est à noter qu'il vaut mieux centrer vos deux variables en premier (de sorte que le coefficient de par exemple se lise comme l'effet de lorsque est à sa moyenne d'échantillon). Y X 2 X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X 1 X $X_1$$Y$$X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_1$$X_2$

Comme l'a gentiment suggéré @whuber, un moyen simple de voir comment varie avec en fonction de lorsqu'un terme d'interaction est inclus, est d'écrire le modèle . Y X 2 E ( Y | X ) = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 1 X $X_1$$Y$$X_2$$\mathbb{E}(Y|X)=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2$

Ensuite, on peut voir que l'effet d'une augmentation d'une unité de lorsque est maintenu constant peut être exprimé comme suit:X $X_1$$X_2$

De même, l'effet lorsque est augmenté d'une unité tout en maintenant constant est . Cela démontre pourquoi il est difficile d'interpréter les effets de ( ) et ( ) isolément. Cela sera encore plus compliqué si les deux prédicteurs sont fortement corrélés. Il est également important de garder à l'esprit l'hypothèse de linéarité qui est faite dans un tel modèle linéaire.$X_2$$X_1$$\beta_2+\beta_3X_1$$X_1$$\beta_1$$X_2$$\beta_2$

Vous pouvez jeter un œil à Régression multiple: tester et interpréter les interactions , par Leona S. Aiken, Stephen G. West et Raymond R. Reno (Sage Publications, 1996), pour un aperçu des différents types d'effets d'interaction dans la régression multiple . (Ce n'est probablement pas le meilleur livre, mais il est disponible via Google)

Voici un exemple de jouet dans R:

library(mvtnorm)
set.seed(101)
n <- 300                      # sample size
S <- matrix(c(1,.2,.8,0,.2,1,.6,0,.8,.6,1,-.2,0,0,-.2,1), 
            nr=4, byrow=TRUE) # cor matrix
X <- as.data.frame(rmvnorm(n, mean=rep(0, 4), sigma=S))
colnames(X) <- c("x1","x2","y","x1x2")
summary(lm(y~x1+x2+x1x2, data=X))
pairs(X)

où la sortie se lit réellement:

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.01050    0.01860  -0.565    0.573    
x1           0.71498    0.01999  35.758   <2e-16 ***
x2           0.43706    0.01969  22.201   <2e-16 ***
x1x2        -0.17626    0.01801  -9.789   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.3206 on 296 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8828, Adjusted R-squared: 0.8816 
F-statistic: 743.2 on 3 and 296 DF,  p-value: < 2.2e-16 

Et voici à quoi ressemblent les données simulées:

Pour illustrer le deuxième commentaire de @ whuber, vous pouvez toujours regarder les variations de en fonction de à différentes valeurs de (par exemple, terciles ou déciles); les affichages en treillis sont utiles dans ce cas. Avec les données ci-dessus, nous procéderions comme suit:$Y$$X_2$$X_1$

library(Hmisc)
X$x1b <- cut2(X$x1, g=5) # consider 5 quantiles (60 obs. per group)
coplot(y~x2|x1b, data=X, panel = panel.smooth)