Si un match de tennis était un seul grand set, combien de matchs donneraient la même précision?

Le tennis a un système de notation à trois niveaux particulier, et je me demande si cela a un avantage statistique, du point de vue d'un match comme une expérience pour déterminer le meilleur joueur.

Pour ceux qui ne sont pas familiers, dans les règles normales, une partie est gagnée par le premier à 4 points, tant que vous avez une avance de 2 points (c'est-à-dire si c'est 4-2 vous gagnez, mais 4-3 vous avez besoin de 1 point de plus, et gardez aller jusqu'à ce qu'un joueur soit 2 en avance).

Un set est alors une collection de jeux, et un set est remporté par le premier à 6, encore une fois à gagner par 2, sauf que cette fois un jeu spécial de bris d'égalité est joué au lieu de continuer (sauf le dernier set de Wimbledon, etc. ..)

Le match est remporté par premier à 2 ou 3 sets selon la compétition.

Maintenant, le tennis est également étrange dans la mesure où les jeux sont injustes. Pour un point donné, le serveur a un énorme avantage, donc à chaque jeu le serveur alterne.

Dans un bris d'égalité, le service alterne après chaque point, et c'est le premier à 7 points, toujours avec une avance de 2 points.

Supposons que le joueur A a une probabilité de gagner le point sur son service de et lorsqu'il reçoit . $p_s$ $p_r$

La question est la suivante, supposons que nous

A) vient de jouer au tennis comme un grand match "best of N games", combien de jeux donneraient la même précision que le meilleur des 5 sets de tennis normaux

B) vient de jouer au tennis comme un gros jeu de bris d'égalité, combien de points donneraient la même précision que le meilleur des 5 sets de tennis normaux?

De toute évidence, ces réponses dépendront des valeurs et elles-mêmes, il serait donc également bon de savoir $p_s$ $p_r$

C) Quel est le nombre attendu de matchs et de points joués dans le tennis normal, en supposant une constante , $p_s$ $p_r$

Définition de la «précision»

Si nous supposons que la compétence des deux joueurs reste constante, alors s'ils ont joué pendant une durée infinie, alors l'un ou l'autre joueur gagnerait presque sûrement, quel que soit le format de jeu. Ce joueur est le "bon" gagnant. Je suis sûr que le bon gagnant est le joueur pour lequel . $p_r+p_s > 1$

Un meilleur format de jeu est celui qui produit le plus souvent le bon vainqueur, pour le même nombre de points joués, ou inversement produit le bon vainqueur avec une probabilité égale en quelques points joués.

probability inference games

— Corone
source

Seul le 5e set n'a pas de bris d'égalité à Wimbledon, Open d'Australie et Open de France. Les 4 premiers sets se jouent avec des bris d'égalité.

— mpiktas

Qu'entendez-vous exactement par «précision»? Vous voulez dire quelque chose comme "à quelle fréquence le meilleur joueur gagnera-t-il?" Dans tous les cas, vous avez besoin de quatre paramètres, pas de deux; vous avez besoin de

et de

pour chaque joueur, bien que

et vice versa. Si un joueur de club joue un joueur de classe mondiale, alors peut-être que

. Je pense que le moyen le plus simple de comprendre cela serait d'utiliser une méthode intensive en informatique. Vous pourriez le comprendre analytiquement, mais les calculs deviendraient intenses.

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

p 1_{s} = 1 - p 2_{r}

$p1_s = 1 - p2_r$

p 1_{s} = .01

$p1_s = .01$

p 1_{r} = .001

$p1_r = .001$

— Peter Flom - Réintègre Monica

Je pensais que la relation entre

et la compétence du joueur pourrait être laissée de côté, car nous voulons juste une comparaison entre les méthodes de mesure. C'est-à-dire pour toute correspondance donnée si

alors le joueur 1 devrait gagner (c'est-à-dire que sa capacité moyenne de gain de points dépasse 50%). Un meilleur tournoi y parvient plus souvent.

p_{s / r}

$p_{s/r}$

p_{s} + p_{r} > 1

$p_s + p_r > 1$

— Corone

Par « même précision » voulez - vous dire que la probabilité globale d'un joueur donné gagnant est le même dans les deux formats (pour une durée déterminée

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

— Michael McGowan

Si vous jouez à points, où vous devez gagner par , vous pouvez supposer que les joueurs jouent 6 points. Si aucun joueur ne gagne par , alors le score est à égalité , puis vous jouez des paires de points jusqu'à ce qu'un joueur gagne les deux. Cela signifie que la chance de gagner un match à points, lorsque votre chance de gagner chaque point est , est $4$ $2$ $2$ $3-3$ $4$ $p$

p^{6} + 6 p^{5} (1 - p) + 15 p^{4} (1 - p)^{2} + 20 p^{3} (1 - p)^{3} \frac{p^{2}}{p^{2} + (1 - p)^{2}}

$p^6 + 6p^5(1-p) + 15p^4(1-p)^2 + 20 p^3(1-p)^3 \frac{p^2}{p^2 + (1-p)^2}$

Dans le jeu masculin de haut niveau, pourrait être d'environ pour le serveur. (Il serait de si les hommes ne ralentissaient pas au deuxième service.) Selon cette formule, la chance de conserver le service est d'environ . $p$ $0.65$ $0.66$ $82.96\%$

Supposons que vous jouez un bris d'égalité à points. Vous pouvez supposer que les points sont joués par paires où chaque joueur sert une de chaque paire. Qui sert en premier n'a pas d'importance. Vous pouvez supposer que les joueurs jouent points. S'ils sont à égalité à ce moment-là, ils jouent en paire jusqu'à ce qu'un joueur gagne les deux d'une paire, ce qui signifie que la chance conditionnelle de gagner est . Si je calcule correctement, la chance de gagner un bris d'égalité à $7$ $12$ $p_sp_r/(p_sp_r + (1-p_s)(1-p_r))$ $7$ points est

6 p_{r}^{6} p s + 90 p_{r}^{5} p_{s}^{2} - 105 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 300 p_{r}^{4} p_{s}^{3} - 840 p_{r}^{5} p_{s}^{3} + 560 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 300 p_{r}^{3} p_{s}^{4} - 1575 p_{r}^{4} p_{s}^{4} + 2520 p_{r}^{5} p_{s}^{4} - 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 90 p_{r}^{2} p_{s}^{5} - 840 p_{r}^{3} p_{s}^{5} + 2520 p_{r}^{4} p_{s}^{5} - 3024 p_{r}^{5} p_{s}^{5} + 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + 6 p_{r} p_{s}^{6} - 105 p_{r}^{2} p_{s}^{6} + 560 p_{r}^{3} p_{s}^{6} - 1260 p_{r}^{4} p_{s}^{6} + 1260 p_{r}^{5} p_{s}^{6} - 462 p_{r}^{6} p_{s}^{6} + \frac{p_{r} p_{s}}{p_{r} p_{s} + (1 - p_{r}) (1 - p_{s})} (p_{r}^{6} + 36 p_{r}^{5} p_{s} - 42 p_{r}^{6} p_{s} + 225 p_{r}^{4} p_{s}^{2} - 630 p_{r}^{5} p_{s}^{2} + 420 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 400 p_{r}^{3} p_{s}^{3} - 2100 p_{r}^{4} p_{s}^{3} + 3360 p_{r}^{5} p_{s}^{3} - 1680 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 225 p_{r}^{2} p_{s}^{4} - 2100 p_{r}^{3} p_{s}^{4} + 6300 p_{r}^{4} p_{s}^{4} - 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{4} + 3150 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 36 p_{r} p_{s}^{5} - 630 p_{r}^{2} p_{s}^{5} + 3360 p_{r}^{3} p_{s}^{5} - 7560 p_{r}^{4} p_{s}^{5} + 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{5} - 2772 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + p_{s}^{6} - 42 p_{r} p_{s}^{6} + 420 p_{r}^{2} p_{s}^{6} - 1680 p_{r}^{3} p_{s}^{6} + 3150 p_{r}^{4} p_{s}^{6} - 2772 p_{r}^{5} p_{s}^{6} + 924 p_{r}^{6} p_{s}^{6})

$6 p_r^6 ps + 90 p_r^5 p_s^2 - 105 p_r^6 p_s^2 + 300 p_r^4 p_s^3 - 840 p_r^5 p_s^3 + 560 p_r^6 p_s^3 + 300 p_r^3 p_s^4 - 1575 p_r^4 p_s^4 + 2520 p_r^5 p_s^4 - 1260 p_r^6 p_s^4 + 90 p_r^2 p_s^5 - 840 p_r^3 p_s^5 + 2520 p_r^4 p_s^5 - 3024 p_r^5 p_s^5 + 1260 p_r^6 p_s^5 + 6 p_r p_s^6 - 105 p_r^2 p_s^6 + 560 p_r^3 p_s^6 - 1260 p_r^4 p_s^6 + 1260 p_r^5 p_s^6 - 462 p_r^6 p_s^6 + \frac{p_r p_s}{p_r p_s + (1-p_r)(1-p_s)}(p_r^6 + 36 p_r^5 p_s - 42 p_r^6 p_s + 225 p_r^4 p_s^2 - 630 p_r^5 p_s^2 + 420 p_r^6 p_s^2 + 400 p_r^3 p_s^3 - 2100 p_r^4 p_s^3 + 3360 p_r^5 p_s^3 - 1680 p_r^6 p_s^3 + 225 p_r^2 p_s^4 - 2100 p_r^3 p_s^4 + 6300 p_r^4 p_s^4 - 7560 p_r^5 p_s^4 + 3150 p_r^6 p_s^4 + 36 p_r p_s^5 - 630 p_r^2 p_s^5 + 3360 p_r^3 p_s^5 - 7560 p_r^4 p_s^5 + 7560 p_r^5 p_s^5 - 2772 p_r^6 p_s^5 + p_s^6 - 42 p_r p_s^6 + 420 p_r^2 p_s^6 - 1680 p_r^3 p_s^6 + 3150 p_r^4 p_s^6 - 2772 p_r^5 p_s^6 + 924 p_r^6 p_s^6)$

$p_s=0.65, p_r=0.36$ $51.67\%$

$6$ $10$ $5-5$ $2$ $p_h$ $p_b$ $6$ $7$ $p_s$ $p_h$ $p_r$ $p_b$

$p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.59\%$

$p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.30\%$

$5$ $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $56.28\%$

$p_s=0.65, p_r=0.36$ $24$ $56.22\%$ $25$ $56.34\%$ $23$ $24$ $113$ $56.27\%$ $114$ $56.29\%$

Cela suggère que jouer un set géant n'est pas plus efficace que le meilleur des 5 matchs, mais jouer un bris d'égalité géant serait plus efficace, au moins pour les concurrents étroitement liés qui ont un avantage à servir.

$51\%$

$13$ $57.51\%$ $45$ $4.115$ $4.115 \times 21.96 = 90.37$ $45$ $82.35$

$13$ $29$ $29$

$13-7 ~~ 12-13 ~~ 11-13$ $36$ $33$ $36$ $33$ queues, vous avez la preuve que les têtes sont plus susceptibles que les queues, pas que les queues sont plus susceptibles que les têtes. Ainsi, trois correspondances au mieux sont inefficaces car elles gaspillent des informations. Une série de matches nécessite en moyenne plus de données car elle attribue parfois la victoire au joueur qui a gagné le moins de matchs.

— Douglas Zare
source

Absolument incroyable! Existe-t-il un badge pour la plus grande expression de latex de tous les temps? Je ne comprends pas la conclusion cependant - sûrement 25 matchs, c'est moins que ce qui est habituellement joué? Si ça va au cinquième set, vous jouez au moins 30 matchs, et même une victoire de 6: 4 6: 4 6: 4 équivaut à 30 matchs?

— Corone

25

$25$

25 - 20

$25-20$

45

$45$

Ah oui, désolé, c'est logique. Très bonne réponse.

— Corone

L A T E X

$\LaTeX$

Cet article a une analyse des bris

— Douglas Zare