Moyenne bayésienne au bâton avant

Je voulais poser une question inspirée d' une excellente réponse à la question sur l'intuition pour la distribution bêta. Je voulais mieux comprendre la dérivation de la distribution précédente de la moyenne au bâton. Il semble que David recule les paramètres de la moyenne et de la plage.

En supposant que la moyenne est de et l'écart-type de , pouvez-vous annuler et en résolvant ces deux équations: $0.27$ $0.18$ $\alpha$ $\beta$

\frac{α}{α + β} = 0.27 \frac{α \cdot β}{(α + β)^{2} \cdot (α + β + 1)} = {0.18}^{2}

$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$

bayesian prior

— Dimitriy V. Masterov
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Honnêtement, j'ai juste continué à représenter graphiquement les valeurs de R jusqu'à ce que cela semble correct.

— David Robinson

où obtenez-vous l'écart-type à 0,18?

— appleLover

Comment avez-vous trouvé cet écart-type? Le saviez-vous à l'avance?

— Maria Lavrovskaya

Réponses:

Remarquerez que:

\frac{α \cdot β}{(α + β)^{2}} = (\frac{α}{α + β}) \cdot (1 - \frac{α}{α + β})

$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$

Cela signifie que la variance peut donc être exprimée en termes de moyenne comme

σ^{2} = \frac{μ \cdot (1 - μ)}{α + β + 1}

$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$

Si vous voulez une moyenne de $.27$ et un écart type de $.18$ (variance $.0324$ ), calculez simplement:

α + β = \frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} - 1 = \frac{.27 \cdot (1 - .27)}{.0324} - 1 = 5.083333

$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$

Maintenant que vous connaissez le total, $\alpha$ et $\beta$ sont faciles:

α = μ (α + β) = .27 \cdot 5.083333 = 1.372499 β = (1 - μ) (α + β) = (1 - .27) \cdot 5.083333 = 3.710831

$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$

Vous pouvez vérifier cette réponse dans R:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

— David Robinson
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David, suivez-vous des recherches sur le baseball? Il existe plusieurs techniques concurrentes pour trouver les bons

, donc je me demandais si vous aviez une opinion à ce sujet si vous faisiez autre chose que d'essayer de trouver un graphique qui semblait raisonnable.

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Michael McGowan

Je ne respecte pas particulièrement la sabermétrie - dans l'autre réponse, il s'est avéré justement fournir un exemple très pratique d'estimation de p à partir d'un binôme avec un a priori. Je ne sais même pas si c'est comme ça que ça se passe en sabermétrie, et si c'est le cas, je sais qu'il y a beaucoup de composants que j'ai omis (joueurs ayant des antérieurs différents, ajustements de stade, pondération des coups récents par rapport aux anciens ...)

— David Robinson

Je suis impressionné que votre regard était si précis.

— Dimitriy V. Masterov

Salut David, comment obtenez-vous de ces valeurs de

à vos valeurs globales dans le poste lié de 81 et 219 respectivement?

α = 1.37

$\alpha = 1.37$

β = 3.71

$\beta = 3.71$

— Alex

@Alex La variance et l'écart-type demandés proviennent de la question ci-dessus, qui demandait un écart-type de 0,18, pas le poste de distribution bêta. Si je calculais au lieu de regarder, j'aurais peut-être deviné un écart-type de quelque chose comme 0,03, qui aurait donné des valeurs de 59 et 160.

— David Robinson

Je voulais ajouter ceci en tant que commentaire sur l'excellente réponse, mais elle a duré longtemps et sera plus belle avec la mise en forme des réponses.

Il ne faut pas oublier que tous sont pas possibles. Il est clair que , mais les limites de ne sont pas aussi claires . $(\mu, \sigma^2)$ $\mu \in [0,1]$ $\sigma^2$

En utilisant le même raisonnement que David, nous pouvons exprimer

σ^{2} (α, μ) = \frac{μ^{2} (1 - μ)}{α + μ}

$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$

$\alpha$ $\sigma^2$ $\mu$

lim_{α \to 0} σ^{2} (α, μ) = μ (1 - μ)

$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$

$\alpha$ $\alpha > 0$ $\mu = \frac12$

$\mu$ $\alpha$ $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$

Pris ensemble, voici l'ensemble des moyennes et des variances valides pour la version bêta:

(En effet, cela est noté sur la page Wikipedia pour la version bêta )

— MichaelChirico
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