Question d'entretien de Amoeba

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On m'a posé cette question lors d'une interview pour un poste de trading avec une société de trading propriétaire. J'aimerais beaucoup connaître la réponse à cette question et l'intuition qui la sous-tend.

Question sur les amibes: Une population d'amibes commence par 1. Après 1 période pendant laquelle l'amibe peut se diviser en 1, 2, 3 ou 0 (elle peut mourir) avec une probabilité égale. Quelle est la probabilité que toute la population s'éteigne finalement?

probability

— AME
source

Devons - nous supposer qu'il fait chacun d' entre eux avec une probabilité

1 / 4

$1/4$ ?

— shabbychef

16

d'un point de vue biologique, cette chance est de 1. L'environnement est appelé à changer au point qu'aucune population ne peut survivre, étant donné que dans x milliards d'années le soleil va exploser. Mais je suppose que ce n'est pas vraiment la réponse qu'il cherchait. ;-) La question n'a pas de sens non plus. Une amibe ne peut se diviser qu'en 2 ou 0. Moralité: les commerçants ne devraient pas poser de questions sur la biologie.

— Joris Meys

7

Une telle question sur l'entretien pour un tel poste? C'est peut-être quelque chose comme dilbert.com/strips/comic/2003-11-27 ?

1

C'est une jolie question comme Mike le mentionne. L'intuition ici est que la probabilité de survie / extinction éventuelle est la même entre deux générations. Une version plus créative pourrait être envisagée lorsque la probabilité de survie elle-même varie en fonction du nombre d'amibes présentes. Je l'ai ajouté à mon blog de site.

— brocoli

1

1) Les amibes se reproduisent par mitoses binaires. 2) Les amibes ne se reproduisent pas dans des figures mitotiques anormales, par exemple 3 fois, si elles étaient vues, ce serait mortel. 4) Poser des questions lors d'un entretien qui suscitent un biais de confirmation sont généralement considérées comme de faible qualité. Conseil; vous ne voudrez peut-être pas ce travail.

— Carl

36

Problème mignon. C'est le genre de choses que les probabilistes font dans leur tête pour le plaisir.

La technique consiste à supposer qu'il y a une telle probabilité d'extinction, appeler . Ensuite, en regardant un arbre de décision à une profondeur pour les résultats possibles que nous voyons - en utilisant la loi de probabilité totale - qui $P$

$P=\frac{1}{4} + \frac{1}{4}P + \frac{1}{4}P^2 + \frac{1}{4}P^3$

en supposant que, dans le cas de 2 ou 3 "descendants", leurs probabilités d'extinction sont IID. Cette équation a deux racines possibles, et $1$ . Quelqu'un de plus intelligent que moi pourrait expliquer pourquoi len'est pas plausible. $\sqrt{2}-1$ $1$

Les emplois doivent être limités - quel type d'intervieweur attend de vous que vous résolviez des équations cubiques dans votre tête?

— Mike Anderson
source

3

La raison pour laquelle 1 n'est pas une racine est facilement visible en considérant le nombre attendu d'Amibe après

étapes, appelons-le

. On peut facilement montrer que

. Parce que la probabilité de chaque résultat est

nous avons

, et ainsi de

croît sans lié à

. Cela ne correspond clairement pas à

.

k

$k$

E_{k}

$E_k$

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

1 / 4,

$1/4,$

E_{1} = 3 / 2

$E_1 = 3/2$

E_{k}

$E_k$

k

$k$

P = 1

$P = 1$

— shabbychef

9

@shabbychef Ce n'est pas si évident pour moi. Vous pouvez avoir une attente exponentielle (ou même plus rapide) tandis que la probabilité de disparaître approche toujours de l'unité. (Par exemple, considérons un processus stochastique dans lequel la population quadruple dans chaque génération ou s'éteint entièrement, chacune avec des chances égales. L'espérance à la génération n est de 2 ^ n mais la probabilité d'extinction est de 1.) Il n'y a donc pas de contradiction; votre argument a besoin de quelque chose de plus.

— whuber

1

@shabbychef - merci pour la modification. Je ne savais pas que nous pouvions utiliser le TeX intégré pour les mathématiques! @whuber - la déclaration de shabbychef

n'est qu'une variation de ma déclaration sur la probabilité d'extinction, il suffit d'ajouter des attentes au lieu de multiplier les probabilités. Beau travail, shab.

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

— Mike Anderson

1

C'est clair, Mike, mais quel est votre point? Ne parlons-nous pas de la façon d'exclure 1 comme solution? Au fait, il est évident (par inspection et / ou par compréhension du problème) que 1 sera une solution. Cela le réduit à une équation quadratique que l'on peut facilement résoudre sur place. Ce n'est généralement pas le but d'une question d'entrevue, cependant. Le demandeur cherche probablement à voir ce que le demandeur sait activement sur les processus stochastiques, le mouvement brownien, le calcul Ito, etc., et comment ils résolvent les problèmes, et non s'ils peuvent résoudre cette question particulière.

— whuber

3

@shabbychef: Une façon d'exclure P = 1 est d'étudier l'évolution de la fonction génératrice de probabilité. Le pgf est obtenu en commençant par t (représentant une population initiale de 1) et en remplaçant itérativement t par (1 + t + t ^ 2 + t ^ 3) / 4. Pour toute valeur de départ de t inférieure à 1, un graphique montre facilement les itérations convergent vers Sqrt (2) -1. En particulier, le pgf reste à l'écart de 1, montrant qu'il ne peut pas converger vers 1 partout, ce qui représenterait une extinction complète. C'est pourquoi "le 1 n'est pas plausible".

— whuber

21

Une partie du calcul de l'enveloppe (littéralement - j'avais une enveloppe sur mon bureau) me donne une probabilité de 42/111 (38%) de ne jamais atteindre une population de 3.

J'ai exécuté une simulation Python rapide, voyant combien de populations étaient mortes au bout de 20 générations (à ce moment-là, elles s'éteignaient généralement ou se comptaient par milliers), et j'avais 4164 morts sur 10000 courses.

La réponse est donc 42%.

— Emile
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9

est 0,4142, il est donc en accord avec le résultat analytique de Mike. Et +1, parce que j'aime les simulations ;-)

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2}-1$

2

+1 également parce que j'aime les simulations. Ce qui aurait été ma réponse;).

— Fomite

7

Cela semble lié au processus de Galton Watson , formulé à l'origine pour étudier la survie des noms de famille. La probabilité dépend du nombre attendu de sous-amibes après une seule division. Dans ce cas , ce nombre est prévu ce qui est supérieur à la valeur critique de , et donc la probabilité d'extinction est inférieure à . $3/2,$ $1$ $1$

En considérant le nombre attendu d'amibes après divisions, on peut facilement montrer que si le nombre attendu après une division est inférieur à , la probabilité d'extinction est de . L'autre moitié du problème, je n'en suis pas si sûr. $k$ $1$ $1$

— shabbychef
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6

Comme le dit la réponse de Mike Anderson , vous pouvez assimiler la probabilité qu'une lignée d'amibe s'éteigne à une somme de probabilités que la lignée des enfants s'éteigne.

p_{p a r e n t} = \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{3} + \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{2} + \frac{1}{4} p_{c h i l d} + \frac{1}{4}

$p_{parent} = \frac{1}{4} p_{child}^3 + \frac{1}{4} p_{child}^2 + \frac{1}{4} p_{child} + \frac{1}{4}$

Ensuite, lorsque vous définissez égale la probabilité des parents et des enfants que leur lignée s'éteigne, vous obtenez l'équation:

p = \frac{1}{4} p^{3} + \frac{1}{4} p^{2} + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}

$p = \frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{4} p^2 + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}$

qui a des racines $p=1$ , $p=\sqrt{2}-1$ , et $p=-\sqrt{2}-1$ .

La question qui reste est de savoir pourquoi la réponse devrait être $p=\sqrt{2}-1$ et non $p=1$ . C'est par exemple demandé dans ce duplicataQuestion d'Entrevue d'Amoeba: Le P (N = 0) est-il 1 ou 1/2? . Dansla réponse de shabbychef,il est expliqué que l'on peut regarder, $E_k$ , la valeur attendue de la taille de la population après la $k$ ème déviation, et voir si elle diminue ou augmente.

Pour moi, il y a une certaine indirectité dans l'argumentation derrière cela et il semble que ce ne soit pas complètement prouvé.

Par exemple, dans l'un des commentaires, Whuber note que vous pouvez avoir une valeur d'attente croissante $E_k$ et également avoir la probabilité d'extinction dans l' approche de la $k$ étape 1. À titre d'exemple, vous pouvez introduire un événement catastrophique qui efface toute l'amibe population et il se produit avec une certaine probabilité $x$ à chaque étape. Ensuite, la lignée d'amibes est presque certaine de mourir. Pourtant, l'attente de la taille de la population à l'étape $k$ augmente.
De plus, la réponse laisse ouverte ce que nous devons penser de la situation où $E_k = 1$ (par exemple, lorsqu'une amibe se divise ou ne se divise pas avec une probabilité égale à 50%, alors la lignée d'une amibe s'éteint avec une probabilité proche de $1$ événement) $E_k= 1$ )

Dérivation alternative.

Notez que la solution $p=1$ peut être une vérité vide de sens . Nous assimilons la probabilité d'extinction de la lignée parentale à celle de l'enfant.

Si «la probabilité que la lignée de l'enfant s'éteigne est égale à $1$ ».
Alors «la probabilité que la lignée du parent s'éteigne est égale à $1$ ».

Mais cela ne signifie pas qu'il est vrai que «la probabilité que la lignée de l'enfant s'éteigne est de $1$ ». Cela est particulièrement clair lorsqu'il y aura toujours un nombre de descendants différent de zéro. Par exemple, imaginez l'équation:

p = \frac{1}{3} p^{3} + \frac{1}{3} p^{2} + \frac{1}{3} p

$p = \frac{1}{3} p^3 + \frac{1}{3} p^2 + \frac{1}{3} p$

Pourrions-nous arriver à une solution d'une manière légèrement différente?

Appelons $p_k$ la probabilité que la lignée s'éteigne avant la $k$ ème déviation. Ensuite nous avons:

p_{1} = \frac{1}{4}

$p_1 = \frac{1}{4}$

et la relation de récurrence

p_{k + 1} = \frac{1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1}{4} p_{k}^{2} + \frac{1}{4} p_{k} + p_{1}

$p_{k+1} = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 + \frac{1}{4} p_k + p_1$

ou

δ_{k} = p_{k + 1} - p_{k} = \frac{1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1}{4} p_{k}^{2} - \frac{3}{4} p_{k} + p_{1} = f (p_{k})

$\delta_k = p_{k+1} - p_k = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 - \frac{3}{4} p_k + p_1 = f(p_k)$

Ainsi, partout où $f(p_k)>1$ la probabilité de disparaître avant la $k$ ième déviation augmente avec l'augmentation de $k$ .

Convergence à la racine et relation avec la valeur attendue

$f(p_k) < p_{\infty}-p_k$ $p_k$ $k$ $f(p_\infty) = 0$

$f(p_k)$ $-1$ $0\leq p \leq 1$ $f(p) = -p + \sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ $a_k \geq 0$

Avec la dérivée

f^{'} (p) = - 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} k p^{k - 1}

$f^\prime(p) = -1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k k p^{k-1}$

f^{'} (0) = - 1

$f^\prime(0) = -1$

f^{'} (1) = - 1 + E_{1}

$f^\prime(1) = -1 + E_1$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

E_{1} > 1

$E_1>1$

0

$0$

1

$1$

E_{1} \leq 1

$E_1 \leq 1$

0

$0$

1

$1$

f (p) = 0

$f(p) = 0$

a_{1} = 1

$a_1 = 1$

— Sextus Empiricus
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