Trouver la distribution d'une statistique

Étudier pour un test. Impossible de répondre à celui-ci.

Soit soit iid N ( 0 , 1 ) variables aléatoires. Définir$X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$$\mathcal{N}(0,1)$

,$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$

et ,$\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

Quelle est la distribution de , S 2 n ?$\overline{W}_n$$S_n^2$

Comment avoir une idée de la meilleure méthode à utiliser lors du démarrage d'un problème comme celui-ci?

C'est un truc.

$X_{3,i} = x$$W_i$

$$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$$ $x$$\mathcal{N}(0,1)$$X_{1,i}$$X_{2,i}$$W_i \mid X_{3,i} = x$ $$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$$

$W_i \mid X_{3,i} = x$$x$$W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

Le reste découle des résultats standard sur les moyennes et les résidus pour les variables aléatoires normales indépendantes. Le théorème de Basu n'est nécessaire à rien.